⽤MATLAB求定积分
⼀、符号积分
符号积分由函数int来实现。该函数的⼀般调⽤格式为：matlab定义函数表达式
int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指⽰的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v)：以v为⾃变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表⽰定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是⼀个符号表达式，还可以是⽆穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回⼀个定积分结果。当a,b中有⼀个是inf时，函数返回⼀个⼴义积分。当a,b中有⼀个符号表达式时，函数返回⼀个符号函数。
例：
求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：
>>syms x y z  %定义符号变量
>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)  %注意定积分的书写格式
F2 =
1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)    %给出有理数解>>VF2=vpa(F2)  %给出默认精度的数值解
VF2 =
224.92153573331143159790710032805
⼆、数值积分
1.数值积分基本原理
求解定积分的数值⽅法多种多样，如简单的梯形法、⾟普⽣(Simpson)法、⽜顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采⽤的⽅法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个⼦区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
2.数值积分的实现⽅法
基于变步长⾟普⽣法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调⽤格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于变步长、⽜顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调⽤格式为：
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol⽤来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取⾮0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调⽤次数。
例：
求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0，积分上限为1。
>>fun=inline('exp(-x.*x)','x');  %⽤内联函数定义被积函数fname
>>Isim=quad(fun,0,1)  %⾟普⽣法
Isim =
0.746824180726425
IL=quadl(fun,0,1)  %⽜顿－柯特斯法
IL =
0.746824133988447
三、梯形法求向量积分
trapz(x,y)—梯形法沿列⽅向求函数Y关于⾃变量X的积分(向量形式，数值⽅法)。
>>d=0.001;
>>x=0:d:1;
>>S=d*trapz(exp(-x.^2))
S=
0.7468
或：
>>format long g
>>x=0:0.001:1;  %x向量，也可以是不等间距
>>y=exp(-x.^2);  %y向量，也可以不是由已知函数⽣成的向量
>>S=trapz(x,y);  %求向量积分
S =
0.746824071499185
附：int与quad区别
int的积分可以是定积分，也可以是不定积分（即有没有积分上下限都可以积）可以得到解析的解，⽐
如你对x^2积分，得到的结果是1/3*x^3，这是通过解析的⽅法来解的。如果int(x^2,x,1,2)得到的结果是7/3
quad是数值积分，它只能是定积分（就是有积分上下限的积分），它是通过simpson数值积分来求得的（并不是通过解析的⽅法得到解析解，再将上下限代⼊，⽽是⽤⼩梯形的⾯积求和得到的）。如果f=inline('x.^2');quad(f,1,2)得到的结果是2.333333，这个数并不是7/3
int是符号解，⽆任何误差，唯⼀问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有⼀定的速度，即总能在⼀定时间内给出⼀个⼀定精度的解。

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