用Matlab对信号进行傅里叶变换
1.离散序列的傅里叶变换DTFT(Discrete Time Fourier Transform)
代码：
1 N=8;                        %原离散信号有8点
2 n=[0:1:N-1]                  %原信号是1行8列的矩阵
3 xn=0.5.^n;                  %构建原始信号，为指数信号
4
5 w=[-800:1:800]*4*pi/800;    %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去）   
6 X=xn*exp(-j*(n'*w));        %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得
7 subplot(311)
8 stem(n,xn);
9 title('原始信号(指数信号)');
10 subplot(312);
11 plot(w/pi,abs(X));
12 title('DTFT变换')
结果：
    分析：可见，离散序列的dtft变换是周期的，这也符合Nyquist采样定理的描述，连续时间信号经周期采样之后，所得的离散信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓。
2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)
与1中DTFT不一样的是，DTFT的求和区间是整个频域，这对计算机的计算来说是不可以实现的，DFT就是序列的有限傅里叶变换。
实际上，1中代码也只是对频域的-800----+800中间的1601
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matlab求傅里叶变换5
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N=8;                        %原离散信号有8点
n=[0:1:N-1]                  %原信号是1行8列的矩阵
xn=0.5.^n;                  %构建原始信号，为指数信号
 
w=[-8:1:8]*4*pi/8;    %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去）   
X=xn*exp(-j*(n'*w));        %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得
subplot(311)
stem(n,xn);
w1=[-4:1:4]*4*pi/4;
X1=xn*exp(-j*(n'*w1));
title('原始信号(指数信号)');
subplot(312);
stem(w/pi,abs(X));
title('原信号的16点DFT变换')
subplot(313)
stem(w1/pi,abs(X1));
title('原信号的8点DFT变换')
结果图：
分析：DFT只是DTFT的现实版本，因为DTFT要求求和区间无穷，而DFT只在有限点内求和。
3.快速傅里叶变换FFT（Fast Fourier Transform）
虽然DFT相比DTFT缩减了很大的复杂度，但是任然有相当大的计算量，不利于信息的实时有效处理，1965年发现的DFT解决了这一问题。
实现代码：
1 N=64;                        %原离散信号有8点
2 n=[0:1:N-1]                  %原信号是1行8列的矩阵
3 xn=0.5.^n;                  %构建原始信号，为指数信号
4 Xk=fft(xn,N);
5 subplot(221);
6 stem(n,xn);
7 title('原信号');
8 subplot(212);
9 stem(n,abs(Xk));
10 title('FFT变换')
效果图：
分析：由图可见，fft变换的频率中心不在0点，这是fft算法造成的，把fft改为fftshift可以将频率中心移到0点。
Matlab的傅里叶变换实例
1.傅里叶变换的定义
傅里叶变换从数学上的定义，为F(w)=int(x*exp(-jwt),t=-inf)
其中，int表示积分，t是时间，x是时域信号，inf表示无穷，exp表示指数运算。其含义说的是给一个无限长的时域信号和一个频点w，可以唯一确定一个复数F。于是，F和w就有了这种对应关系，考虑到F是个复数。F的绝对值和w关系叫幅频，F的幅角和w关系叫相频。
2.matlab的fft命令
help fft可以知道这个和数学上的傅里叶不一样，因为计算机是离散的！因为计算机的时域信号存储量是有限的！比如等时采样得到的信号，高频分量是不可能获得的，对于比较大的w将无法计算。于是，fft这样计算傅里叶变换：把时域信号进行周期延拓，取一组w，就是时域信号的周期及该周期的二分之一，三分之一，直到n分之一，其中n是一个周期内的采样点。这样做的结果，就是对一段有限长的时域信号，将其长度作为基频率，分析基频和高频含量。当然，能分析到的最高频为n次谐波，再高次谐波由于香农定理而无法体现。
3.写一个数学定义傅里叶变换的程序
将有限长时域信号不延拓，时域信号外的时间内，认为信号为零。于是获得无限长时域信
号，取频点若干，分析其傅里叶变换。考虑到matlab对于由描点法定义的函数，数值积分时常用的方法有：矩形法，梯形法。一下代码采用梯形法，算例如下：
clear
clc
%% 输入信号
t=0:1e-3:20;%时域信号的时间范围
x=sin(t)+sin(1.5*t+1)+5*cos(0.5*t)+2*randn(size(t));%时域信号x
w=[0:1e-2:2];%想要观察的频率范围

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