随机过程数学建模分析
任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程。
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质：
中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc 时，就可认为满足窄带条件。若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。
图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的
一个样本函数。
图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图
图2 窄带随机过程的一个样本函数
二、窄带随机过程的数学表示
1、用包络和相位的变化表示
由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式：
X(t)=A(t)*cos[ωct+ Φ(t)]
其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。
2、莱斯（Rice）表示式
任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为：
X(t)=Ac(t) cosωct-AS(t) sinωct
其中同相分量：
Ac(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωct＋ sinωct=LP[X(t) *2cosωct]
正交分量：
AS(t) = X(t)sinφt= cosωct— X(t) sinωct= LP[-X(t) *2sinωct]
（LP[A]表示取A的低频部分）。Ac(t)和AS(t)都是实随机过程，均值为0，方差等于X(t)的方差。
三、窄带随机过程仿真建模要求
1、用Matlab 编程仿真窄带随机信号：X(t)=(1+ A(t))*cos(ωct+φ)+n(t)。 其中包络A(t)频率
为1KHz，幅值为l V。载波频率为：4KHz，幅值为l V，φmatlab求傅里叶变换是一个固定相位，n(t)为高斯白噪声，采样频率设为16KHz。实际上，这是一个带有载波的双边带调制信号。
2、计算窄带随机信号的均值、均方值、方差、概率密度、频谱及功率谱密度、相关函数，用图示法来表示。
3、窄带系统检测框图如图3所示。
图3 窄带系统检测框图
4、低通滤波器设计：
低通滤波器技术要求：通带截止频率1KHz，阻带截止频率2KHz。过渡带：1KHz，阻带衰减：>35DB，通带衰减：<1DB，采样频率：≤44.1KHz
5、计算a点、b点、Ac(t)、AS(t)、y(t)的均值、均方值、方差、频谱及功率谱密度、相关函数，用图示法来表示。
四、建模仿真过程及结果（程序见附件）
1、根据要求得到X(t)的表达式：
x= (l+a) .*cos (2*pi*4000*t+2) +noisy/10;
其中：noisy为高斯白噪声，由wgn函数生成，
a=cos (2*pi*l000*t)，
均值：Ex=mean (x)，
方差：Dx=var (x)，
计算可得：X(t)的均值为0.0019，
X(t)的方差为0.7590。
如图4所示，其中蓝线为X(t)一个样本的时域波形，红点连成的线为X(t)的均值，绿点连成的线为X(t)的方差。
图4 窄带随机信号时域波形
2、求X(t)的概率密度，方法是将最大最小区间分成14等份，然后分别计算各个区间的个数，如图02中柱形条所示，利用曲线拟合， 得到合适的概率密度函数。 为了得到光滑的曲线，利用了多项式拟合，经过测试，9次拟合曲线比较符合要求，获得的曲线如图5中曲线所示：
图5 X(t)的概率分布密度函数
3、对X(t)进行频谱分析，在Matlab中，利用fft函数可以很方便得求得X(t)的频谱，然后用abs和angle函数求得幅值和相位，画出图像如图6所示：
图6 X(t)的频谱图
4、求X(t)的自相关函数，用xcorr函数求出自相关序列，得到X(t)自相关函数的时域波形，如图7所示。
图7 X(t)自相关函数的时域波形
5、对X(t)自相关函数进行fft变换，得到X(t)的功率谱密度，如图8所示。
图8 X(t)的功率谱密度
6、建立滤波器，建立一个巴特沃思滤波器，对产生的x(t)进行检测。滤波器的幅度谱和相位谱所示：
图9 地通滤波器的幅度谱和相位谱
7、求Ac(t)的统计特性，Ac(t)为X(t) *2cosωct通过低通滤波器的信号，
Ac(t)的均值Eh = -0.4075 4（带有直流分量），
Ac(t)的均方值是E2h =0.2458
Ac(t)的方差Dh = 0.0798
Ac(t)的波形如图10、图11所示：
图10 Ac(t)的时域波形图和频谱图
图11 Ac(t)的自相关函数的时域波形图和Ac(t)的功率谱密度
8、求AS(t)的统计特性，AS(t)为X(t) *2cosωct通过低通滤波器的信号，
AS(t)的均值Eh =0.8972（带有直流分量），
AS(t)的均方值是E2h = 1.1565
AS(t)的方差Dh = 0.3518
AS(t)的波形如图13、图14所示：
图13 AS(t)的时域波形图和频谱图
图14 AS(t)的自相关函数的时域波形图和AS(t)的功率谱密度
9、求出Y(t)的统计特性，Y (t)=Ac(t) cosωct-AS(t) sinωct，
其统计特性如下
输出信号Y(t)的均值Eh = -4.4011e-004s
输出信号Y(t)的均方值E2h = 3.0280
输出信号Y(t)的方差Dh = 3.0303
Y(t)的仿真图形如图15、图16所示。
图15 Y(t)的时域波形图和频谱图
图16 Y(t)的自相关函数的时域波形图和Y(t)的功率谱密度
附件：
clc
fs=16000; %设定采样频率
N=1300;
n=0:N-1; %取的样本点数
t=n/fs; %获得以1/16000为时间间隔采样序列
noisy=wgn(1,N,0); %产生高斯白噪声
a=cos(2*pi*1000*t); %获取A(t)的采样点
x=(1+a).*cos(2*pi*4000*t+2)+noisy/10; %获取x(t)的采样点
%以t为横坐标画出x(t)的时域图型
figure(1); subplot(2,1,1); plot(n,x);
axis([0 140 -3 3]);xlabel('采样点');ylabel('X(t)/V');title('窄带随机信号波形');grid on;
%求X(t)的统计特性 并画出来
disp('X(t)的均值为'); Ex=mean(x); disp(Ex);%求X(t)均值
hold on; plot(n,Ex,'r.');
disp('X(t)的方差为');Dx=var(x); disp(Dx);%求x(t)方差
hold on; plot(n,Dx,'g.');
%画出X(t)的概率分布函数
each=linspace(min(x),max(x),14); %将最大最小区间分成14等份,然后分别计算各个区间的个数
nr=hist(x,each); %计算各个区间的个数
nr=nr/length(x); %计算各个区间的个数归一化
subplot(2,1,2); p=polyfit(each,nr,9); %画出概率分布直方图
bar(each,nr); %多项式拟合
hold on; plot(each,nr,'g')
eachi=-2:0.1:2;
nri=polyval(p,eachi);
plot(eachi,nri,'r')
axis tight;title('X(t)概率密度分布');xlabel('X(t)');ylabel('P(x)');grid on;
%对X(t)进行频谱分析
Fx=fft(x,N); %对x(t)进行fft变换，在0~16000区间内得到2N-1个频率值
magn=abs(Fx); %求x(t)幅值
xangle=angle(Fx); %求X(t)相位
labelang=(0:length(x)-1)*16000/length(x); %在0~16000区间内求横坐标刻度
figure(2); plot(labelang,magn*10); %在0~16000区间内做频谱和相位图
axis([0 16000 -0.5 600]); xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');title('X(t)频谱图');grid on;
%求X(t)的自相关函数
[c,lags]=xcorr(x,'coeff'); %求出自相关序列
figure(3); subplot(2,1,1); plot(lags/fs,c); %在时域内画自相关函数
axis tight; xlabel('T');ylabel('Rx(T)');title('X(t)的自相关函数');grid on;
%求X(t)的功率谱密度
long=length(c);
Sx=fft(c,long);
labelx=(0:long-1)*2*pi;
plot_magn=10*log10(abs(Sx));
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