第1章　时域离散信号和时域离散系统
1.1.2    重要公式
（1）
这是一个线性卷积公式，  注意公式中是在－∞~∞之间对m求和。 如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应，  y(n)是系统输出，  则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。
（2）x(n)=x(n)*δ(n)
  该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。
  x(n－n0)=x(n)*δ(n－n0)
（3）
这是关于采样定理的重要公式，  根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的最
高频率的两倍以上，  才能得到不失真的采样信号。
这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。
1.2　解线性卷积的方法
  解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有三种方法，  即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用MATLAB语言求解。  它们各有特点。 图解法（列表法）适合于简单情况，  短序列的线性卷积，  因此考试中常用，  不容易得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积，  得到的是封闭解，  考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限，  求和限可以借助于画图确定。 第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积，  实验中常用。
  解线性卷积也可用Z变换法，  以及离散傅里叶变换求解，  这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。
  设x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)，  求y(n)=x(n)*h(n)。
  该题是两个短序列的线性卷积，  可以用图解法（列表法）或者解析法求解。  表1.2.1给出了图解法（列表法）， 用公式可表示为
      y(n)={…, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, …}
下面用解析法求解，  写出卷积公式为
  在该例题中， R4(m)的非零区间为0≤m≤3，  R4(n－m)的非零区间为0≤n－m≤3，  或写成n－3≤m≤n，这样y(n)的非零区间要求m同时满足下面两个不等式：
  0≤m≤3
  m－3≤m≤n
  上面公式表明m的取值和n的取值有关，  需要将n作分段的假设。 按照上式，  当n变化时， m应该按下式取值：max{0, n－3}≤m≤min{3, n}
  当0≤n≤3时，下限应该是0，上限应该是n； 当4≤n≤6时，下限应该是n－3，上限应该是3；当n<0或n>6时，上面的不等式不成立，因此y(n)=0； 这样将n分成三种情况
计算：
（1） n<0或n>6时， y(n)=0
（2）  0≤n≤3时，
（3）  4≤n≤6时，
将y(n)写成一个表达式， 如下式：
  在封闭式求解过程中，有时候决定求和的上下限有些麻烦，可借助于非零值区间的示意图确定求和限。在该例题中，非零值区间的示意图如图1.2.1所示。图1.2.1(b)中，当n<0时，图形向左移动，图形不可能和图1.2.1(a)的图形有重叠部分，因此y(n)=0。 当图形向右移动时，0≤n≤3，图形如图1.2.1(c)所示，对照图1.2.1(a)，重叠部分的上下限自然是0≤m≤n。当图形再向右移动时，4≤n≤6，如图1.2.1(d)所示，重叠部分的上下限是n－3≤m≤3。 当图形再向右移动时, 7≤n，图形不可能和图1.2.1(a)有重叠部分，因此y(n)=0。
    图1.2.1
1.3　例 题
　［例1.3.1］线性时不变系统的单位脉冲响应用h(n)表示，输入x(n)是以N为周期的周期序列，试证明输出y(n)亦是以N为周期的周期序列。
　证明：
因为输入x(n)是以N为周期的周期序列，  因此
　x(n＋kN－m)=x(n－m)
将上式代入（1）式，  得到
  上式说明y(n)也是以N为周期的周期序列。
［例1.3.2］线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)为
h(n)=a－nu(－n)
计算该系统的单位阶跃响应。
解：用s(n)表示系统的单位阶跃响应，则
按照上式，s(n)的非零区间可由下面两个不等式确定:
  m≤0 及 m≤n
（1）n≤0时,
（2）n>0 时,
最后得到
［例1.3.3］设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入激励信号x(n) 分别为
x(n)=cos(πn)u(n)
求系统的稳态响应y(n)。
　解：x(n)=cos(πn)u(n)=(－1)nu(n)
当n→∞时，稳态解为
1.4　习题与上机题解答
　1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
题1图
解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
2． 给定信号：
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；
(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
(3) 令x1(n)=2x(n－2)，试画出x1(n)波形；
(4) 令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；
(5) 令x3(n)=x(2－n)，试画出x3(n)波形。
解：(1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。
  (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
(5) 画x3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。
3．判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
(1)
(2)
解：（1） 因为ω=π, 所以, 这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。
　（2） 因为ω=, 所以=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
4． 对题1图给出的x(n)要求：
(1) 画出x(－n)的波形；
(2) 计算xe(n)=1/2［x(n)+x(－n)］， 并画出xe(n)波形；
(3) 计算xo(n)=1/2［x(n)－x(－n)］， 并画出xo(n)波形;
(4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？
解：（1）x(－n)的波形如题4解图（一）所示。
(2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加，再除以2，得到xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题4解图（二）所示。
(3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。
(4) 很容易证明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)
　上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。
　5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)
（2）y(n)=2x(n)+3
（3）y(n)=x(n－n0)  n0为整常数
（4）y(n)=x(－n)
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
（8）y(n)=x(n)sin(ωn)
　解：（1令输入为x(n－n0)
输出为:
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)
y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n)
故该系统是非时变系统。
因为y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］
=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］
T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)
T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)
所以T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故该系统是线性系统。
（2） 令输入为x(n－n0)
输出为y′(n)=2x(n－n0)+3
　y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)
故该系统是非时变的。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3
T［ax1(n)］=2ax1(n)+3
T［bx2(n)］=2bx2(n)+3
T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故该系统是非线性系统。
(3) 这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为x(n－n1)
输出为: y′(n)=x(n－n1－n0)
y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n)
故延时器是非时变系统。 由于
　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］matlab求傅里叶变换
故延时器是线性系统。
(4) y(n)=x(－n)
　令输入为： x(n－n0)
输出为y′(n)=x(－n+n0)
　y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)
因此系统是线性系统。 由于
　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
因此系统是非时变系统。
（5）y(n)=x2(n)
　令输入为： x(n－n0)
　输出为： y′(n)=x2(n－n0)
　y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n)
故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］=ax21(n)+bx22(n)
因此系统是非线性系统。
（6）y(n)=x(n2)
　令输入为： x(n－n0)
输出为：y′(n)=x((n－n0)2)
　y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n)
故系统是非时变系统。 由于

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