第13章 傅里叶变换
1． 求下列函数的傅里叶变换
（1） 2()s in ()f x x η= （2）2()c o s ()f x x η= 其中η为实数。
解 （1）及（2）的Fresenc 变换放在一起来解决。 令 21()sin ()i x
F x e
d x λλη+∞
-∞=⎰
2
2()co s()i x
F x e
d x λλη+∞
-
∞
=
⎰
假设0η>，则有2
21()()()i x
i x
F F iF e
e
d x ηλλλλ+∞
-∞
=+=
=⎰
2
2
4
())2i
iy
e
y x λ
η
λ
η
-
+∞
=+
⎰
令
因为2
2
2
co s sin iy
e
d y y d y i y d y +∞+∞
+∞=
+⎰
⎰
⎰
由傅里叶积分有
2
2
c o s s in 4
x d x x d x +∞+∞
=
=
⎰
⎰
所以 2
4())
4
4
i
F e
λ
η
λ-=
22
c o s ()c o s ()
4444i λ
π
λ
πηη⎡
⎤
=
-++⎥⎦
所以 2
1()c o s ()44
F λ
π
λη=
+
2
2()c o s ()
44
F λ
π
λη=
- 我们把η扩大到除0以外的任意实数时，即
当0η≠时，2
2c o s ()o s (
)44
i x
x e
d x λλ
π
ηη
+∞-∞
=
-
⎰
[]11()()()(
)
i
i x
c
F
f c x e
f c x d x e
d F c
c
c
λ
ε
λλ
εε∞
+∞∞
+∞
--=
=-
+=-
⎰
⎰
2．设C 是一个实常数，试证滞后定理 [][]()i c
F f t c e
F
f λ-=
证 []()()i x
F f t c e f x c d x λ+-∞
∞-=-⎰ ()
()i c e
f d λεεε+-∞
+∞=
⎰
()i c
i e
e
f d λλε
εε+-∞
∞
=⎰
[]i c
e
F
f λ=
3．设C 是一个不为零的实数，试证相似定理 []1()(
)
F f c t F c
C
λ
= 证 当c ＞0时 []11()()()(
)i i x
c
F f c x e
f c x d x e
f d F c
c
c
ε
λ
λλ
εε+∞
∞
∞
+--∞
==
=
⎰
⎰
当c ＜0时 []1()()()i i x
c
F f c x e
f c x d x e
f d c
ε
λ
λεε∞-∞
∞
++∞
-=
=
⎰
⎰
11()(
)i
c
e
d F c
c
c
λ
ε
λ
εε+∞-∞
=-
+=-
⎰
总之 []1()(
)
F f c x
F c
C
λ
= 4．求解下列定解问题
2
0(,0)()()(,0)0()tt x x x x t
u a u u x f x x u x x ⎧+=⎪
=-∞<<+∞⎨⎪=-∞<<+∞⎩
解 对方程两端及初值条件施以傅里叶变换得常微分方程哥西问题：
4
210(,0)()(,0)0tt tt t u u a u f u λλλλ⎧+=⎪⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
其中(,)i x
u
u x t e
d x λ+∞
-∞
=⎰
得通解为 2
12()co s ()sin u
C a t C a t λλλλ2
=+ 代入初始条件得 ()c o s u
f a t λλ2
= 所以 1()c o s 2i x
u f a te d λλλλπ
+∞
2--∞
=⎰
而 ()()i f f e
d λξ
λξξ+∞
-∞
=
⎰
()1()c o s 2i x f a te
d d ξλ
ξλλξπ
+∞
+∞--∞
-∞
=
⎰
⎰
2
1()(c o s 244x f d a t ξπξξπ
+∞
-∞
⎡⎤-=
-⎢⎥⎣
⎦⎰
（由习题1得）
2
()()c o s 44x f d a t ξπξξ+∞
-∞
⎡⎤
-=
-⎢⎥⎣⎦
5. 试求定解问题 (,0)()(t x x u u t u u x f x x =+⎧⎨
=
-∞<
<+∞
⎩
的有界解。
解 对方程两端及初始条件施以傅里叶变换得
2
0|()t t u
u t u u
f λλ=⎧=-+⎪⎨=⎪⎩
得 2
2
12
t t
u
fe λ-+
=
所以 1(,)2i x
u x t ue
d λλπ+∞
--∞
=
⎰
而 ()()i f f e
d λξ
λξξ+∞
-∞
=
⎰
2
2
12
1()2t t
i x
i e
e
f e
d d λλλξ
ξξλπ
+∞+∞
-+
--∞
-∞
=
⎰
⎰
2
2
2
()
()2t
t
i x e
f e
e
d d λλξξλξπ+∞
+∞---∞
-∞
=
⎰
⎰
2
2
()
2
1()2t
t
i x e
f e
e
d d λλξξλξπ
+∞
+∞---∞
-∞
=
⎰
⎰
2
2
()42
1
()
x t
t
e
f e
d ξξξ--
+∞
-∞
=⎰
（应用Laplace 积分）
2
2
()42
1
()x t
t
f e
d ξξξ--+∞
-∞
=
⎰
6. 试用傅氏变换求方程
t x x u u A u =+ 的哥西问题的基本解，其中A 为常数。
解 求t x x u u A u =+的哥西问题的基本解，即解定解问题：
（Ⅰ）(,0)()t x x u u A u
u x x δξ=+⎧⎨=-⎩
对定解问题（Ⅰ）的方程及初始条件施以傅里叶变换得
2(,0)t i U U A U
U e λξλλ⎧=-+⎪⎨=
⎪⎩
解之得 2
()i A t
U e e
λξλ
-+=
所以 2
()1122i x i A t
i x
u U
e d e
e
e
d λλξ
λλλλππ+∞
+∞
--+-∞-∞
==⎰
⎰
2
())
12A t
i x e
e
d λλξ
λπ+∞
-
+(--∞
=⎰
2
1c o s ()2A t
t
e
e
x d λ
λξλπ+∞--∞
=
-
⎰
（应用Laplace 积分）
2
()4x A t t
ξ--
=
7. 利用前题结果，写出哥西问题 (,)(,0)()()
t x x u u A u f x t u x x x ϕ=++⎧⎨
=-∞<<+∞⎩
的求解公式。其中()x ϕ为充分光滑的已知函数，(,)f x t 为已知的连续函数。 解法1 应用基本解 令(,)(,)(,)u x t v x t W x t =+则原定解问题化为
（Ⅰ）(,)(,0)0t x x V V A V f x t V x =++⎧⎨=⎩ （Ⅱ）(,0)()t x x W W A W
W x x ϕ=+⎧⎨=⎩
matlab求傅里叶变换定解问题（Ⅱ）的基本解在6
题中已求得：2
()41x A t t
W ξ--
=
而定解问解（Ⅰ）的基本
解归结为求定解问题：（定解问题（Ⅰ）的另一种解法利用傅里叶变化法）
()()
(,0)0
t
x x
U
U
A U x t U x δξδτ
=++--⎧⎨
=
⎩
此定解问题表示在时刻t τ=的一瞬间，在x ξ=处放出的单位热量所引起的温度分布。 与6题类次的求法可得
2
()
4()
()
(,;,)x t A t e U x t e t ξττξττ----=<≤
所以定解问题（Ⅰ）的解为
2
()
4()
()
(,)x t t A t e V f e
d ξττξττξ--
-+∞--∞
=
⎰⎰
所以
2
()41(,)()
x A t
t
u x t e
d ξϕξξ--
+∞
-∞
=
+⎰
2
()
4()
()
(,)x t t A t e
f e
d ξττξττξ--
-+∞--∞
⎰⎰
解法2 对方程两端及初始条件施以傅里叶变换：
2
(,)(,0)()t u u A u f t u
λλλϕλ⎧=-++⎪⎨=⎪⎩
2
)(,)(,0)()t u A u f t u
λλλϕλ⎧+(-=⎪⎨=⎪⎩
解此一阶线性非齐次方程的哥西问题。
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