离散傅里叶变换及FFT应用实验
一、实验目的
   
1、掌握离散时间傅立叶变换（DTFT）的计算方法和编程技术。
2、掌握离散傅立叶变换（DFT）的计算方法和编程技术。
3、理解离散傅立叶变换（DFT）的性质并用MATLAB进行验证。
4、理解用FFT对周期序列进行频谱分析时所面临的问题并掌握其解决方法。
5、掌握用时域窗函数加权处理的技术。
6、理解用FFT对非周期信号进行频谱分析所面临的问题并掌握其解决方法。
二、实验器材
   
    MATLAB软件
三、实验原理
   
1、离散时间傅立叶变换
如果序列x(n)满足绝对可和的条件，即，则其离散时间傅立叶变换定义为：
                                             
如果x(n)是无限长的，则不能直接用MATLAB由x(n)计算X(ej )，但可以用它来估计X(ej )表达式在[0,π]频率区间的值并绘制它的幅频和相频（或实部和虚部）曲线。
如果x(n)是有限长的，则可以用MATLAB对任意频率 处的X(ej )进行数值计算。如果要在[0,π]间按等间隔频点估计X(ej )，则（1）式可以用矩阵－向量相乘的运算来实现。假设序列x(n)在(即不一定在[0, N-1])有N个样本，要估计下列各点上的X(ej )：
它们是[0,π]之间的(M+1)个等间隔频点，则（1）式可写成：
                                   
将{x(nl)}和{X(ej k)}分别排列成向量x和X，则有：
                                  X=Wx                               
其中W是一个(M+1)×N维矩阵：
    将{k}和{n}排成列向量，则
在MATLAB中，把序列和下标排成行向量，对（3）式取转置得：
其中nTk是一个N×(M+1)维矩阵。用MATLAB实现如下：
k=[0:M]; n=[n1:n2];
X=x*(exp(-j*pi/M)).^(n’*k);
2、离散傅立叶变换   
一个有限长序列的离散傅立叶变换对定义为：
                                       
                                       
以列向量x和X形式排列x(n)和X(k)，则式（4）、（5）可写成：
matlab求傅里叶变换
X=WNx
其中矩阵WN由下式给出：
3、对时间序列作FFT时，实际上要作周期延拓（如果取长序列的一段进行计算还要先作截
断）。周期序列是无限长时间序列，如果截断区间刚好就是该序列周期的整数倍，那么在进行周期延拓后，将还原出原来的周期序列，由此可以较精确地计算出的该周期序列的频谱。反之，如果截断区间并不是该序列周期的整数倍，那么在进行周期延拓后，就不可能还原出原来的周期序列，由此计算出的频谱与该周期序列的频谱存在误差，而且误差的大小与截断区间的选取直接相关.
四、实验内容
1.用傅立叶变换出被噪声污染的时域信号中的信号的频率分量。1000Hz采样的数据，由50Hz振幅为0.7的正弦信号和120Hz振幅1的正弦信号组成合成信号，叠加形成零均值所污染的噪声。
程序代码：
clear
clc
Fs=1000;T=1/Fs;
L=1000;
t=(0:L-1)*T;
x=0.7*sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);
y=x+2*randn(size(t));
figure(1)
plot(Fs*t(1:50),y(1:50))
title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')
xlabel('time (milliseconds)')
NFFT=2^nextpow2(L);
tic
Y=fft(y,NFFT)/L;
toc
f=Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);
figure(2)
plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1)))

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