matlab 实现单径瑞利信道仿真中经典多普勒谱（Clarke 模型、Jakes 模型）
matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱⽬录
引⾔
最近完成⽼师给的作业，题⽬如下：
⽆线信道中的多普勒谱有⼀种经典谱(classic spectrum)。请⽤Simulink或者m语⾔，产⽣⼀条单径瑞利信道，其多普勒谱为经典谱，其中移动速率为120km/h。
在查阅了多普勒经典谱的相关知识后，⾸先接触到的就是Clarke模型、Jakes模型这两个模型。在此先阐述他们的区别：Clarke模型是⼀个多径衰落的数学模型
Jakes模型是是⼀个仿真模型，（也就是说是clarke模型的⼀个具体实现形式）它产⽣的信号是⼴义平稳的，并且能够较好的吻合Clarke模型中的统计特性
经典谱的产⽣(Clarke 模型，即理论推导)
所谓的经典谱，最早是由Clarke于1968年提出来的。这个模型假设：
存在N个有任意相位的平⾯波，每个平⾯波以任意的⽅向达到接收机，且平均功率相同
也就是说，平⾯波达到接收机的仰⾓为零，⽽⽔平⽅位⾓（暂记为θ）在0到2弧度之间均匀连续分布。
我们任选其中⼀束平⾯波来分析：
假设，发射信号为：则通频带发射信号：
πx (t )(t )=x
~Re x (t )e [j 2πf t c ]
由于移动台的运动，到达接收机的所有平⾯波都会经历多普勒频移。则通过条传播路径的散射信道后（不同路径多普勒频移不同），通频带接收信号可表⽰为：
（注：,，分别表⽰第i条路径的信道增益，时延和多普勒频移。其中，为最⼤多普勒频移）基带接收信号为：
其中所以尽管发射频率为，但是接收到的信号频谱却扩展到了 到 范围内，这就是多普勒频展。根据输⼊输出，可以把信道建模为⼀个线性时变滤波器，脉冲响应如下：
其中。
将此表达式回带进通频带接收信号，假设，可得通频带接收信号表达式为：
其中和是的同相和正交分量。
只要⾜够⼤，根据中⼼极限定理我们可知，和会趋近⾼斯随机变量，此时接收信号的幅度服从瑞
利分布
I (t )=y ~Re C e x (t −τ)=[i =1∑
I
i j 2π(f +f )(t −τ)c i i i ]Re y (t )e [j 2πf t c ]
C i τi f i f =i f cosθ=m cosθλv
f m y (t )=
C e x (t −i =1
∑
I
i −jϕ(t )i τ)
i ϕ(t )=i 2π{(f +c f )τ−i i f t }
i i f c f −c f m f +c f m h (t ,τ)=
C e δ(t −i =1
∑
I
i −jϕ(t )i τ)≈i h (t )δ(t −)
τ^h (t )=C e i =1∑
I
i −jϕ(t )i x (t )=1(t )=Re y (t )e y
~[j 2πf t c ]=Re {h (t )+jh (t )}e [I Q j 2πf t c ]=h (t )cos 2πf t −h (t )sin 2πf t
I c Q c h (t )I h (t )Q h (t )h (t )=
I C cos ϕ(t )
i =1
∑
I
i i h (t )=
Q C sin ϕ(t )
i =1
∑
I
i i I h (t )I h (t )Q ∣(t )∣
=
y ~h (t )+h (t )
I 2Q 2
对
的⾃相关函数做傅⾥叶变换，得到衰落过程的功率谱密度
这就是经典多普勒谱。话不多说，让我们亲⾃见识⼀下
经典谱的产⽣(Jakes 模型，即仿真实践)
单径瑞利信道，是信道的⼀种窄带衰落模型，在这种衰落模型中，信道时延扩展相对很⼩，多径分量不可分辨，信道为平坦衰落信道。可以⽤⼩信号模型来进⾏建模和拟合。
根据理论模型我们可知：复⾼斯信号的模服从瑞利分布，因此就需要产⽣⼀个复⾼斯信号，虚部实部都服从⾼斯分布。
那么我们如何⽣成这样的实部虚部呢？我们采⽤正弦波叠加法
，理论依据是中⼼极限定理：⽆穷多个独⽴同分布信号的叠加服从⾼斯分布。
假设我们有N个平⾯波，原始信号的频率是，相位是定义，其中N/2被限定为⼀个奇数。
如上图所⽰，将个频率为，相位为(均匀分布)的复振荡器的输出求和，然后和频率为的复振荡器的输出相加。（每个复振荡器的频率为，表⽰第n个平⾯波的到达⾓度。每个复振荡器的相位为。
(t )y ~
ω=d 2πf =m 2πλv
ϕ=N 0N =0(N /2−1)/2N 0ωn ϕn ω=d 2πf m ω=n ωcosθd n θ=n N 2πn
ϕ=n N +10πn
由此求和得到实部和虚部（为便于编程，下⾯计算都穿插了矩阵运算）
h (t )I h (t )Q h (t )=I 2cos ϕcos ωt +
cos ϕcos ωt
n =1∑
N 0
(n n )2N d =⋅[cos ϕ1cos ϕ2⋯cos ϕN 0
cos ϕN ]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡2cos ωt 12cos ωt 2⋮2cos ωt N 02cos ωt d ⎦
⎥
⎥⎥⎥⎥⎤h (t )=Q 2sin ϕcos ωt +
sin ϕcos ωt
n =1∑
N 0
(n n )2N d =⋅[sin ϕ1sin ϕ2⋯sin ϕN 0
sin ϕN ]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡2cos ωt 12cos ωt 2⋮2cos ωt N 02cos ωt d ⎦
⎥
⎥⎥⎥⎥⎤
Jakes模型的复输出可以表⽰为
其中为衰落信道的平均幅度。
带⼊矩阵运算可表⽰为
此外，经过多普勒频移的正弦数必须⾜够⼤，以便衰落信道的振幅能够近似服从瑞利分布。⼀般取=8就⾜够⼤了。
得到结果后，我们⽤图表的形式展现出来（时域特性、幅度谱、相位谱、⾃相关函数、功率谱）：
h (t )=
{h (t )+2N +10E 0
I jh (t )}
Q E 0h (t )+I jh (t )Q h (t )+I jh (t )=Q ⋅[cos ϕ+j sin ϕ11cos ϕ+j sin ϕ22⋯cos ϕ+j sin ϕN 0N 0
cos ϕ+j sin ϕN N ]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡2cos ωt 12cos ωt 2⋮2cos ωt N 02cos ωt d ⎦
⎥
⎥⎥⎥⎥⎤=⋅[e
jϕ1
e jϕ1⋯e jϕN 0
e jϕN ]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡2cos ωt 12cos ωt 2⋮2cos ωt N 02cos ωt d ⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎤=2e cos ωt +
n =1∑
N 0
jϕn n e cos ωt
2jϕN d N 0N 0

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