“信号与系统”课程中关于信号相位谱的分析
王法松
【摘 要】“信号与系统”课程是一门历史长久的电子信息类专业本科生必修的重要课程.作为该课程的重难点之一的傅里叶分析在教学过程中更是重中之重.从傅里叶变换入手,重点分析了二维灰度图像和一维语音信号的相位谱特点及作用,让学生了解信号相位谱的表现形式及其在实际问题中的作用,从而加深对理论知识的理解和掌握.教学实践表明,该方法对于激发学生学习兴趣、提高学生分析和解决相关问题的能力效果显著.
【期刊名称】《微型电脑应用》
【年(卷),期】2018(034)009
【总页数】3页(P1-3)
【关键词】信号与系统;幅度谱;相位谱;Matlab
【作 者】王法松
【作者单位】郑州大学信息工程学院,郑州450001
【正文语种】中 文
【中图分类】TN911.6
0 引言
“信号与系统”课程是电子信息、通信、自动控制等本科专业的一门重要专业必修课程，从开设至今，在国际上已经历了近七十年的历史。该课程在整个本科教学体系中，具有举足轻重和承前启后的作用，向前承接着“高等数学”“线性代数”“概率统计”和“电路”等重要基础课程，往后衔接着“数字信号处理”“通信原理”“随机信号分析”和“自动控制原理”等重要专业基础课程。相对于其他课程而言，由于该课程涉及到较多的数学知识，比较抽象，理论难度较大。
该课程在内容上主要涉及连续和离散时间信号及相应的线性时不变系统的时间域和变换域的相关理论分析。在学习上，同学们需要在理解课程所涉及的物理背景和数学原理的前提下，能够应用这些数学工具描述和分析连续和离散时间信号及相应的线性时不变系统的具
体问题。在教学上，为了突破学生由于数学知识的不足而造成的对“信号与系统”课程中的一些教学重点和难点的分析障碍，已出现大量的使用Matlab等软件进行相关教学的大量尝试和研究[1-2]。在这些研究中，特别地，针对信号的傅里叶分析的研究较多，但是大部分都是针对信号的幅度谱展开讨论，而相应的专门针对信号相位谱的研究和分析却鲜有涉及。同样地，在教学过程中，由于幅度谱具有直观的物理含义，较容易被广大同学理解和接受，而相位谱却不然。然而，在信号的频域表示中，幅度谱和相位谱具有同样重要的地位，在一些具体的应用问题中，信号的相位谱信息包含了原始信号的绝大多数甚至全部信息[3-6]。因此，本文将针对图像信号和声音信号两类具体信号类型，通过分析和Matlab仿真说明信号相位谱的作用，以加强广大同学在学习“信号与系统”课程中对信号相位信息重要性的理解和认识。
1 信号幅度谱和相位谱的基本概念
连续时间傅里叶变换F(jω)的幅度-相位表达形式可以表示为式(1)。
F(jω)=|F(jω)|exp(jφ(ω))
(1)
式(1)中，|F(jω)|表示信号x(t)的幅度谱，φ(ω)表示信号x(t)的相位谱。类似地，对于离散时间傅里叶变换的幅度-相位表达形式可以表示为式(2)。
F(ejω)=|F(ejω)|exp(jφ(ejω))
(2)
由傅里叶变换的逆变换表达式为式(3)。
(3)
由式(3)可知，信号x(t)可以分解为在不同频率处的复指数加权“和”的形式。事实上，表示为信号x(t)的能量密度谱，即可以认为是信号x(t)位于无穷小长度的频带[ω,ω+dω)上的信号的能量。因此，|F(jω)|描述了信号x(t)的一个基本频率成分的含量，即组成信号x(t)的复指数函数的相对幅度信息。另一方面，相位φ(ω)虽不影响单个频率成分的幅度信息，却提供了构成信号x(t)的复指数函数的相位信息。φ(ω)所携带的相位信息同样包含信号x(t)的丰富信息和本质特征。作为相位影响的一个最简单例子，考虑如下时域信号为式(4)。
(4)
选择不同的相位值φ1，φ2和φ3，由式(1)给出的信号x(t)的时域波形图，如图1所示。
(a)
(b)
(c)
(d)图1 选择不同的相位值φ1，φ2和φ3，由式(4)给出的信号x(t)的时域波形图。(a)φ1=φ2=φ3=0; (b)φ1=4 rad,φ2=8 rad,φ3=12 rad; (c)φ1=6 rad,φ2=-2.7 rad,φ3=0.93 rad; (d)φ1=1.2 rad,φ2=4.1 rad,φ3=-7 rad
图1(a)给出了信号x(t)在φ1=φ2=φ3=0时的时域波形图。同样，在各次谐波幅度不变的情况下，图1(b)-图1(d)给出了其他几组不同的相位值得到的信号x(t)的时域波形图，从这几幅图中可以清楚的看到不同的相对相位关系对信号合成效果的影响。
matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱
2 信号相位谱重要性的应用实例
本节将通过两个应用实例说明信号相位谱的重要性。
实例一：图像信号的相位谱
灰度图像可以看作是一个具有两个独立变量的信号x(t1,t2)，其中t1表示图像上一个点的水平坐标，t2是该点的垂直坐标，而x(t1,t2)表示该点图像的灰度值。图像信号的傅里叶变换F(jω1,jω2)表示将图像信号分解成复指数信号ejω1t1ejω2t2的组合形式，这两个复指数信号体现了图像信号x(t1,t2)在两个坐标方向上以不同的频率进行空间变化的趋势。一般来说，图像的边缘信息和高对比度的区域反映了该图像的最重要的特征信息，具有相同相位的不同频率的复指数函数的叠加一般出现在一幅图像上最大和最小强度的区域。因此，可以认为图像信号的傅里叶变换的相位谱包含了其中的大部分特征信息，尤其是关于图像的边缘特征信息，如图2所示。
现考虑图2(a)和图2(b)所示的两幅灰度图像信号；图2(c)和图2(d)给出了这两幅原始灰度图像所对应的傅里叶变换的幅度谱；图2(e)和图2(f)给出了原始灰度图像对应的傅里叶变换的相位谱；图2(g)和图2(h)给出了将原始图像的幅度谱设为1而相位谱保持不变时对应的灰度图像；图2(i)和图2(j)给出了将原始图像的相位谱设为0而幅度谱保持不变时对应的灰度图像；图2(k)和图2(l)给出了将两幅原始图像的相位谱互换而幅度谱不变时的灰度图像。由仿
真结果可见，灰度图像信号的大部分边缘信息都包含在该图像的相位谱信息中，即具有相同相位谱的两幅图像看起来更为相似。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)图2 (a)和(b)为原始灰度图像；(c)和(d)为原始灰度图像的幅度谱图像；(e)和(f)为原始图像的相位谱图像；(g)和(h)为将原始图像的幅度谱设为1而相位谱不变时的灰度图像；(i)和(j)为将原始图像的相位谱设为0而幅度谱不变时的灰度图像；(k)和(l)为将原始两幅图像的相位谱互换而幅度谱不变时的灰度图像。

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