实验一 信号的频谱图
一、 实验目的
1. 掌握周期信号的傅里叶级数展开
2. 掌握周期信号的有限项傅里叶级数逼近
3. 掌握周期信号的频谱分析
4. 掌握连续非周期信号的傅立叶变换
5. 掌握傅立叶变换的性质  二、 相关知识 1 周期信号的傅里叶级数
设周期信号()f t ，其周期为T ，角频率为0022f T
，该信号可展开为三角形式的傅里叶级数，即为：
0102010200001()cos cos2sin sin cos sin n n n f t a a t a t b t b t a a n t b n t
其中，正弦项与余弦项的系数n a 和n b 成为傅里叶系数，根据函数的正交性，得
0000000001()2()cos 2()sin t T t t T n t t T n t a f t dt T a f t n dt T b f t n dt T
（2）
其中，1,2,n  。积分区间00(,)t t T  通常取为(0,)T 或(,)22
T T
。若将（2）式中同频率项合并，可改写为
001()cos n n n f t A A n t
（3）
从物理概念上来说，（3）中的0A 即是信号的直流分量；式中的第二项称为信号的基波或者基波分量，它的角频率与原周期信号相同；式中第三项称为信号的二次谐波，他的频率是基波频率的二倍；以此类推。一般而言  0cos n n A n t    称为信号的n 次谐波；n 比较大的分量统称为信号的高次谐波。  我们还常用到复指数形式的傅里叶。设周期信号()f t ，其周期为T ，角频率为
0022f T
，
该信号复指数形式的傅里叶级数为 0()jn t
n
n f t F e
其中2
02
1
(),0,1,T T jn t
n F f t e
dt n T
，称为复指数形式傅里叶级数系数。利用MATLAB 可
以直观地观察和分析周期信号傅里叶级数及其收敛性。
【例1-1】周期方波信号如图所示，画出该信号的傅里叶级数，利用MA TLAB 编程实现其各次谐波的叠加。
图1-1 周期方波信号
解：从理论上分析可知，已知周期方波信号的傅里叶级数展开为 00004111()sin sin 3sin 5sin 7357A f t t t t t
取A=1，T=1，可分别求出1，3，5，11，47项傅里叶级数求和的结果，MATLAB 程序为
t=-1:0.001:1; omega=2*pi;
y=square(2*pi*t,50); plot(t,y),grid on;
xlabel('t'),ylabel('周期方波信号'); axis([-1 1 -1.5 1.5]) n_max=[1 3 5 11 47]; N=length(n_max); for k=1:N
n=1:2: n_max(k);
b=4./(pi*n);
x=b*sin(omega*n'*t); figure; plot(t,y,'b'); hold on; plot(t,x,'r'); hold off;
xlabel('t'),ylabel('部分和的波形'); axis([-1 1 -1.5 1.5]);grid on;
title(['最大谐波数=',num2str(n_max(k))]) end
运行后的各项部分和的波形如图
图1-2 周期方波信号的有限项傅里叶级数逼近
很多项的时候，部分和的波形和周期方波信号的波形很接近，但在信号的跳变点附近，却总是存在一个过冲，这就是所谓的Gibbs 现象。 2 周期信号的频谱分析
周期信号通过傅里叶级数分解可展开成一些列相互正交的正弦信号或复指数信号分量的加权和。在三角形是傅里叶级数中，各分量的形式为0cos()n n A n t    ；在指数形式的傅里叶级数中，各分量的形式为0
n
jn t j jn t n n F e F e e    。对实信号而言，0jn t n F e  和0
jn t n F e  成对
出现。对不同的周期信号，它们各个分量的数目、角频率0n  、幅度n F 或n A 、相位n  或n  不同。傅里叶系数的幅度n F 或n A 随角频率0n  的变化关系绘制成图形，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。相位n  或n  随角频率0n  的变化关系绘制成图形，称为信号的相位频
t 周期方波信号
t 部分和的波形
最大谐波数=1
t
部分和的波形
最大谐波数=3
t
部分和的波形
最大谐波数=5
t
部分和的波形
最大谐波数=11
t
部分和的波形
最大谐波数=47
谱，简称相位谱。幅度谱和相位谱统称为信号的频谱。信号的频谱是信号的另一种表示，它提供了从
另一个角度来观察和分析信号的途径。利用MA TLAB 命令可对周期信号的频谱及其特点进行观察验证和分析。
【例1-2】已知周期矩形脉冲()f t 如图所示，设脉冲幅度为A=1，宽度为 ，重复周期为T （角频率02T
）。将其展开为复指数形式傅里叶级数，研究周期矩形脉冲的宽度和周期变化时，对其频谱的影响。
图1-3 周期矩形脉冲信号
解：根据傅里叶级数理论可知，周期矩形脉冲信号的傅里叶系数为
2(
)()sin ()2n n n n F A Sa Sa c T T T
各谱线之间的间隔为2T
。
图画出了1,10T    ；1,5T    和2,10T    三种情况下傅里叶系数。为了能在同一时间段对比，第二种情况由于周期T 不一样，所以谱线之间的间隔也不一样，因此对横坐标进行了调整，使它与第一种和第三种情况一致。 n=-30:30;tao=1;T=10;w1=2*pi/T; x=n*tao/T;fn=tao*sinc(x); subplot(311)
stem(n*w1,fn),grid on ; title('tao=1,T=10');
matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱tao=1;T=5;w2=2*pi/T; x=n*tao/T;fn=tao*sinc(x); m=round(30*w1/w2); n1=-m:m;
fn=fn(30-m+1:30+m+1); subplot(312)
stem(n1*w2,fn),grid on ; title('tao=1,T=5');
tao=2;T=10;w3=2*pi/T; x=n*tao/T;fn=tao*sinc(x); subplot(313)
stem(n*w3,fn),grid on ; title('tao=2,T=10');
图1-4 周期矩形脉冲信号的傅里叶系数
从图中可以看出，脉冲宽度 越大，信号的频谱带宽越小；而周期越小，谱线之间间隔越大，验证了傅里叶级数理论。 【练习】
1. 已知周期三角信号如图所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB 编程实现其
各次谐波的叠加，并验证其收敛性。
图1-5 周期三角信号波形
2. 试用MATLAB 分析上图中周期三角信号的频谱。当周期三角信号的周期和三角信号的
宽度变化时，试观察其频谱的变化。
3 傅里叶变换及其性质
在前面讨论的周期信号中，当周期T  时，周期信号就转化为非周期信号。当周期T  时，周期信号的各次谐波幅度及谱线间隔将趋近于无穷小，但频谱的相对形状保持不变。这样，原来由许多谱线组成的周期信号的离散频谱就会连成一片，形成非周期信号的连续频谱。为了有效地分析非周期信号的频率特性，我们引入了傅里叶变换分析法。  信号()f t 的傅里叶变换定义为
()[()]()jwt F w F f t f t e dt
傅里叶反变换定义为
1()[()]()2jwt f t F F w F w e dt
傅里叶正反变换成为傅里叶变换对，简记为()()f t F w  。
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