实验二：连续和离散系统的频域分析
一：实验目的
    1：学习傅里叶正变换和逆变换，理解频谱图形的物理含义
    2：了解连续和离散时间系统的单位脉冲响应
    3：掌握连续时间系统的频率特性
二：实验原理
1. 傅里叶正变换和逆变换公式
正变换：        逆变换：
2. 频域分析
将激励信号分解为无穷多个正弦分量的和。
，R(ω)为傅里叶变换;各频率分量的复数振幅
激励
3 各函数说明：
(1)impulse 冲激响应函数：[Y,X,T]=impulse(num,den);
num分子多项式系数； num=[b(1) b(2) … b(n+1)];
den分母多项式系数； den=[a(1) a(2) … a(n+1)];
Y,X,T分别表示输出响应，中间状态变量和时间变量；
如：，等价于
定义den=[1 5 3];num=[1 2];
[Y,X,T]=impulse(num,den);
(2)step 阶跃响应函数：[Y,X,T]=step(num,den);num分子多项式；den分母多项式
Y,X,T分别表示输出响应，中间状态变量和时间变量；
如：，den=[1 5 3];num=[1 2];
[Y,X,T]= step (num,den);
（3）impz 数字滤波器的冲激响应  [h,t] = impz(b,a,n) 
b分子多项式系数；a分母多项式系数；n采样样本
h 离散系统冲激响应；t冲激时间，其中t=[0:n-1]', n=length(t)时间样本数
（4）freqs 频域响应  [h,w] = freqs(b,a,f)
b,a定义同上，f频率点个数
h频域响应，w频域变量
三．实验内容
1 周期信号傅里叶级数
已知连续时间信号，其中取值如下：（X为学号的后两位）
     
要求画出信号的时域波形和频域波形（幅度谱和相位谱）。
分析该信号有几个频率成分，频率分别是多少，振幅为多少，相位为多大。理解并体会连
续信号可以分解为无穷多正弦波叠加。
程序清单：
%% 信号的频域成分表示法 例子：正弦波的叠加
t = 0:20/400:20;
w1 = 1; w2 = 4; w3 = 8;fai1=0;fai2=pi/3;fai3=pi/2;
%在命令窗口分别输入A1，A2，A3振幅值
A1 = input('Input the amplitude A1 for w1 = 1: ');
A2 = input('Input the amplitude A2 for w2 = 4: ');
A3 = input('Input the amplitude A3 for w3 = 8: ');
%连续时间信号形x(t)
f1=A1*cos(w1*t+fai1);f2=A2*cos(w2*t+fai2);f3=A3*cos(w3*t+fai3);
x = A1*cos(w1*t+fai1)+A2*cos(w2*t+fai2)+A3*cos(w3*t+fai3);
figure(1);
subplot(211),plot(t,f1,'r',t,f2,'g',t,f3,'b','linewidth',2)
title('连续时间信号时域图形x(t)')
ylabel('x(t)')
xlabel('时间（秒）')
legend({'f1=A1*cos(w1*t+fai1)','f2=A2*cos(w2*t+fai2)','f3=A3*cos(w3*t+fai3)'})
subplot(212),plot(t,x,'linewidth',4)
title('连续时间信号时域图形x(t)')
ylabel('x(t)')
xlabel('时间（秒）')
figure(2)
subplot(211),stem([w1 w2 w3],[A1 A2 A3])
v = [0 10 0 1.5*max([A1,A2,A3])];axis(v); %限定XY轴坐标范围
title('幅频特性')
ylabel('振幅')
xlabel('频率(弧度/ 秒)')
subplot(212),stem([w1 w2 w3],2*pi*[fai1 fai2 fai3])
fai = [0 10 0 1.5*max(2*pi*[fai1 fai2 fai3 ])];axis(fai); %限定XY轴坐标范围
title('相频特性')
ylabel('相位(度)')
xlabel('频率(弧度/ 秒)')
2 傅里叶的正变换和逆变换
  调用符号工具箱中 F=fourier(f)函数返回傅里叶变换F(w)
f=ifourier(F)函数返回被积函数f(t)
(1) 分别求,对应的傅里叶变换
程序清单：
%% 矩形脉冲的傅里叶变换
syms t t0 E Fw tau f
f=E*(heaviside(t-tau/2)- heaviside(t+tau/2));
Fw=fourier(f);
simplify(Fw)
%% 正弦信号的傅里叶正变换
syms t w f Fw
f = A1*sin(100*pi *t);
Fw1 =simplify(fourier(f)) %fourier正变化函数，返回值频域F(w)
(2) 分别求，的原函数
%% 傅里叶逆变换
Syms w F t f real
E=1;tau=2;
F=E*tau*sinc(w*tau/(2*pi));%定义F(w)
f=ifourier(F);%傅里叶逆变换函数
f=simple(f)%计算结果简化 返回值是f(x) heaviside(x)相当于阶跃函数u(t)
%% 求频谱为冲激信号时的傅里叶逆变换f(t)
syms w Fw w0
Fw=dirac(w-w0);
f=ifourier(Fw);
f=simple(f)
3 频谱分析
正弦衰减信号的的表达式为，当a = 2; b = 2时，试求出正弦衰减信号的频谱的表达式，并画出信号的时域和频谱波形，并分析其幅频和相频特性。
程序清单：%% 正弦衰减信号的频谱
syms  t w f Fw %定义符号变量
a = 2; b = 2;
f = exp(-a*t)*sin(b*pi*t);%定义正弦衰减函数信号matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱
Fw = simplify(int(f*exp(-j*w*t),t,0,inf))%在[0,inf]时间范围内对函数f(t)积分,其中int为积分函数；simplify是对积分结果的简化
%% results in Fw = -2*pi/(-4+w^2-4*pi^2-4*i*w)
% the following commands plot the signal
tp = 0:.01:3;
fp = exp(-2*tp).*sin(2*pi*tp);
figure(1);subplot(211),plot(tp,fp);xlabel('Time (sec)');ylabel('x(t)')
wp = 0:.05:50;%定义频率变化范围
Fp = -2*pi./(-4+wp.^2-4*pi^2-4*i*wp);
subplot(212),plot(wp,abs(Fp))  %abs(Fp)求频谱Fp的振幅
title('正弦衰减信号的幅度频谱 ');xlabel('Frequency (rad/sec)');ylabel('|X|')
4 连续时间系统的冲激响应和阶跃响应
（1）%  sys = tf(num,den)
a=[1 5 3];b=[1 2]; %a,b分别为分子和分母多项式系数
subplot(2,1,1)
[Y1,X1,T1]=impulse(b,a);plot(T1,Y1);title('系统的冲激响应波形h(t)')
subplot(2,1,2)
[Y2,X2,T2]=step(b,a);plot(T2,Y2);title('系统的阶跃响应波形g(t)')
要求：（1）写出本程序的系统函数H(w)
(2)系统函数为，其中n为学号末尾两位，试画出连续时间系统的冲激响应和阶跃响应图形
（2） 离散时间系统的单位脉冲响应
a=[1 -2 0.8];b=[5 3];k1=0;k2=10;
k=k1:k2;
impz(b,a,k);% impz为离散系统单位脉冲响应
title('离散时间系统的单位脉响应')
xlabel('n')
ylabel('h(n)')
要求：1）写出本程序的系统函数H(n)；2)系统函数为，其中n为学号末尾两位，试画出离散时间系统的单位脉冲响应
5 连续时间系统的频率特性
% 用MATLAB的freqs函数绘出给定系统的频率响应
a=[1 2 3];b=[2 1];
w = logspace(-1,1);
[h,w]=freqs(b,a,w)          %求系统响应函数H(jw)，设定h个频率点
mag =abs(h);                      %求幅频响应
phase=angle(h);                    %求相频响应
subplot(2,1,1);
loglog(w,mag);
grid on;xlabel('角频率(W)');ylabel('幅度');title('H(jw)的幅频特性');
subplot(2,1,2);
semilogx(w,phase);
grid;xlabel('角频率(w)');ylabel('相位(度)');title('H(jw)的相频特性');
要求：（1）写出本程序的系统函数H(w)；(2)系统函数为，其中n为学号末尾两位，试画出连续时间系统的频率特性

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