实验二  连续时间信号的频域分析
一、实验目的
1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；
2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因；
3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义；
4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质；
5、学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFS 、CTFT 和DTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 、DTFT 的若干重要性质。
基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用MA TLAB 编程完成相关的傅里叶变换的计算。
二、实验原理及方法
1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS 分析
任何一个周期为T 1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。
其中三角傅里叶级数为：
∑∞=++=1
000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω                  2.1
或：    ∑∞=++
=100)cos()(k k k t k c a t x ϕω                            2.2 其中1
02T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ϕ、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ϕ－0ωk 图像为相位谱。
三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。
指数形式的傅里叶级数为：
matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱∑∞
-∞==
k t jk k e a t x 0)(ω                              2.3 其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：                    ⎰--=2/2/1110)(1T T t jk k dt e t x T a ω                          2.4
指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的周期复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度（complex amplitude ）为k a 。这里“复幅度（complex amplitude ）”指的是k a 通常是复数。
上面的傅里叶级数的合成式说明，我们可以用无穷多个不同频率的周期复指数信号来合成任意一个周期信号。然而，用计算机（或任何其它设备）合成一个周期信号，显然不可能做到用无限多个谐波来合成，只能取这些有限个谐波分量来近似合成。
假设谐波项数为N ，则上面的和成式为：
∑-==
N N k t jk k e a t x 0)(ω                              2.5
显然，N 越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。本实验可以比较直观地了解傅里叶级数的物理意义，并观察到级数中各频率分量对波形的影响包括“Gibbs ”现象：即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。这一现象在观察周期矩形波信号和周期锯齿波信号时可以看得很清楚。
三、实验内容和要求
Q2-1 编写程序Q2_1，绘制下面的信号的波形图：
-+-=)5cos(51)3cos(31)cos()(000t t t t x ωωω∑∞==10)cos()2sin(1n t n n n
ωπ 其中，ω0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(ω0t)、cos(3ω0t)、cos(5ω0t) 和x(t) 的波形图，给图形加title ，网格线和x 坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。
抄写程序Q2_1如下：
clear,%Clear all variables
close all,%Close all figure windows
dt = 0.00001;  %Specify the step of time variable
t = -2:dt:4; %Specify the interval of time
w0=0.5*pi;
x1=cos(w0.*t);
x2=cos(3*w0.*t);
x3=cos(5*w0.*t);
N=input('Type in the number of the harmonic components N=');
x=0;
for q=1:N;
x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q;
end
subplot(221)
plot(t,x1)%Plot x1
axis([-2 4 -2 2]);
grid on,
title('signal cos(w0.*t)')
subplot(222)
plot(t,x2)%Plot x2
axis([-2 4 -2 2]);
grid on,
title('signal cos(3*w0.*t))')
subplot(223)
plot(t,x3)%Plot x3
axis([-2 4 -2 2])
grid on,
title('signal cos(5*w0.*t))')
执行程序Q2_1所得到的图形如下：
Q2-2给程序Program2_1增加适当的语句，并以Q2_2存盘，使之能够计算例题2-1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。
通过增加适当的语句修改Program2_1而成的程序Q2_2抄写如下：
% Program2_1
clear, close all
T = 2;  dt = 0.00001;  t = -2:dt:2;
x1 = u(t) - u(t-1-dt);  x = 0;
for m = -1:1                    % Periodically extend x1(t) to form a periodic signal
x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt);
end
w0 = 2*pi/T;
N = 10;                      % The number of the harmonic components
L = 2*N+1;
for k = -N: N;                  % Evaluate the Fourier series coefficients ak
ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;
end
phi = angle(ak);                % Evaluate the phase of ak
subplot(211)'
k = -10:10;
stem (k,abs(ak),'k');
axis([-10,10,0,0.6]);
grid on;
title('fudupu');
subplot(212);
k = -10:10
stem(k,angle(ak),'k');
axis([-10,10,-2,2]);
grid on;
titie('xiangweipu');
xlabel('Frequency index x');
执行程序Q2_2得到的图形
Q2-3反复执行程序Program2_2，每次执行该程序时，输入不同的N值，并观察所得到的周期方波信号。
通过观察，你了解的吉伯斯现象的特点是：
% Program2_3
% This program is used to compute the Fourier series coefficients ak of a periodic square wave clear,close all
T = 2;  dt = 0.00001;  t = -2:dt:2;
x1 = u(t)-u(t-1-dt);  x = 0;
for m = -1:1
x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt);  % Periodically extend x1(t) to form a periodic signal
end
w0 = 2*pi/T;
N = input('Type in the number of the harmonic components N = :');
L = 2*N+1;
for k = -N:1:N;
ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;

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