【20211214】【信号处理】从Matlab仿真的⾓度理解频谱混
叠和奈奎斯特采样定理
⼀、混叠
定义：在信号处理领域中，混叠是指采样信号还原成连续信号时产⽣彼此交叠⽽出现信号失真的现象。matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱
危害：信号发⽣混叠时，⽆法从采样信号中还原原始信号。
混叠可能发⽣在时域，叫做时域混叠；也可能发⽣在频域，叫做空间混叠。
1. 从时域信号重构理解混叠
如下图，图中信号是⼀个单频的正弦信号，信号频率为 fs。
（1）当⽤ fs 的采样频率采样时，得到的信号是⼀条直流的曲线/直线；
（2）当⽤ 2fs 的采样频率采样时，得到的信号是⼀个三⾓波信号；
（3）当⽤ 4/3fs 的采样频率采样时，得到的是⼀个更低频的三⾓波信号。
以上的⼏种采样频率均不能重构原信号，从⽽出现信号混叠，即采样信号不能保持原信号的频谱特性。因此，要想不发⽣信号混叠，采样率必须⾼于信号最⾼频率的两倍，也就是说，在信号的⼀个周期内，⾄少出现两个以上的采样点！
（参考：）
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2. 从频域⾓度理解混叠
已知⼀个合成信号是由两个单频正弦信号组成，频率分别是 20Hz 和 40Hz，我⽤ 60Hz 的采样率对信号进⾏采样后进⾏傅⾥叶变换，如果只画正频部分（也就是说只画 0~30Hz 部分），发现⽆法观察到 40Hz 的频率能量尖峰，这时才想到发⽣了频谱混叠~只有采样频率⼤于信号最⼤频率的 2 倍时才能在
正频部分看到所有频率的能量尖峰~（从 Matlab 仿真的⾓度理解奈奎斯特采样定理的合理性）
⼆、奈奎斯特采样定理
采样定理，⼜称奈奎斯特采样定理。采样定理是连续时间信号（通常称为”模拟信号“）和离散时间信号（通常称为”数字信号“）之间的基本桥梁。该定理说明了采样频率和信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
定义：时域上的采样等价于频域的周期延拓，采样频率 fs 要⼤于信号最⾼频率的 fmax 的 2 倍，采样后的信号才能完整的保留原始信号中的信息，才不会发⽣频谱混叠。
奈奎斯特频率：为防⽌信号混叠需要的最⼩采样频率；
奈奎斯特间隔：为防⽌信号混叠最⼤允许的采样间隔。
（参考：）
（参考：）
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三、如何防⽌频谱混叠？
前⽂提到了频谱混叠的原因：采样频率过低。所以要想解决这个问题，有两种途径：
（1）提⾼采样频率；
（2）在采样之前加⼀个抗混叠低通滤波器。（把信号中超过 fs/2 的频率成分过滤掉，剩下的信号就满⾜了奈奎斯特采样定理的条件）
（参考：）
（参考：）
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四、举个栗⼦~
求⼀个合成信号的频谱，合成信号由两个单频正弦信号相加得到，频率分别为：20Hz 和 40Hz。
（1）采样频率设置为 90Hz（满⾜奈奎斯特采样定理）
% 频谱混叠仿真（奈奎斯特采样定理）
%% 参数设置
fs = 90;  % 采样频率（满⾜奈奎斯特采样定理：要⼤于信号最⼤频率的两倍）L = 10;  % 时间长度
t = 0 : 1/fs : L;  % 时间坐标
%% ⽣成信号
f1 = 20;  % 信号1频率
f2 = 40;  % 信号2频率
s1 = 5 * sin(2 * pi * f1 * t);
s2 = 2 * sin(2 * pi * f2 * t);
s = s1 + s2;  % 合成信号
%% FFT
numfft = 512;
s_fft = fft(s, numfft);
p = pow2db(abs(s_fft) .^ 2);  % 功率
f = (0 : numfft-1) / numfft * fs;  % 频率
magnitude = abs(s_fft) ./ numfft;  % 幅度谱
phase = angle(s_fft);  % 相位谱
%% 作图
figure(1);
subplot(3, 1, 1);
plot(f, p, 'linewidth', 1.5); axis('tight'); title([num2str(numfft), '点傅⾥叶变换']); subplot(3, 1, 2);
plot(f, magnitude, 'linewidth', 1.5); axis('tight'); title('幅度谱');
subplot(3, 1, 3);
plot(f, phase, 'linewidth', 1.5); axis('tight'); title('相位谱');
运⾏结果：
（2）将采样频率设置为 200Hz（满⾜奈奎斯特采样定理）
（3）将采样频率设置为 80Hz（不满⾜奈奎斯特采样定理）
（4）将采样频率设置为 80Hz（不满⾜奈奎斯特采样定理）
结论：从上⾯三个图可以看出，当满⾜奈奎斯特采样定理时，从频谱上能够分析到两个频率能量尖峰，对应的就是原始 20Hz 和
40Hz 的两个频率信号（只看正频部分的⼀半），即没发⽣混叠。⽽当不满⾜奈奎斯特采样定理时，频谱上⽆法观察到两个能量尖峰，也就是说发⽣了频谱混叠，⽆法根据傅⾥叶逆变换还原原始信号。

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