频谱和功率谱有什么区别与联系
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换， 是一个时间平均（time average）概念 功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。有两个重要区别：
1.功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列）
2.功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛； 而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。频谱分析中
可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱
功率谱是个什么概念？它有单位吗?
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。
功率谱密度，从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域，通常指频域，密度，就是指观察对象在观察域上的分布情况。一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。
可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。 一是用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；二是用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；三是用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，所以lonelystar说的不全对，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了；对于第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换（FFT）估计谱密度的依据；第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55(1930), 117-258,利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，在依靠正交性来建立的。
另外，对于非平稳随机过程，也有三种谱密度建立方法，由于字数限制，功率谱密度的单位是G的平方/频率。就是就是函数幅值的均方根值与频率之比。是对随机振动进行分析的重要参数。
功率谱密度的国际单位是什么?
如果是加速度功率谱密度，加速度的单位是m/s^2,
那么，加速度功率谱密度的单位就是(m/s^2)^2/Hz,
而Hz的单位是1/s,经过换算得到加速度功率谱密度的单位是m^2/s^3.
同理，如果是位移功率谱密度，它的单位就是m^2*s,
如果是弯矩功率谱密度，单位就是(N*m)^2*s
位移功率谱——m^2*s
速度功率谱——m^2/s
加速度功率谱——m^2/s^3
求FFT实现的C++算法
#include<iostream.h>
#include "math.h"
class complex//复数类声明
{
private:
double real;
double image;
public:
complex(double r=0.0,double i=0.0)//构造函数
{
real=r;
image=i;
}
complex operator+(complex c2);//+重载为成员函数
complex operator-(complex c2);//-重载为成员函数
complex operator*(const complex& other);//重载乘法
//complex operator/(const complex& other);//重载除法
void display();
};
complex complex::operator +(complex c2)//重载的实现
{
complex c;
c.al+real;
c.image=c2.image+image;
return al,c.image);
}
complex complex::operator -(complex c2)//重载的实现
{
complex c;
c.al;
c.image=image-c2.image;
return al,c.image);
}
complex complex::operator*(const complex& other)
{
complex temp;
al=al-image*other.image;
temp.image=al+real*other.image;
return temp;
}
void complex::display()
{
cout<<"("<<real<<","<<image<<")"<<endl;
}
int fft(complex *a,int l)
//此处的l是级数数
{
const double pai=3.141592653589793;
complex u,w,t;
int n=1,nv2,nm1,k,le,lei,ip;
int i,j,m;
double tmp;
//n<<l表示n左移l位即系列的长度
n<<=l;
nv2=n>>1;
nm1=n-1;
i=0;
j=0;
for(i=0;i<nm1;i++) //.....
{
if(i<j) //'''变址运算
{
t=a[j];
a[j]=a[i];
a[i]=t;
}
k=nv2; //求下一个倒位序数
while(k<=j)
{ //原理是从高位加1，向低位进位
j-=k;
k>>=1;
}
j+=k;
}
//基2的输入倒位序，输出自然顺序的时间抽取FFT运算
le=1;
for(m=1;m<=l;m++) //当前运算的是第m级
{
lei=le;
le<<=1;
u=complex (1,0);
tmp=pai/lei;
w=complex (cos(tmp),-sin(tmp));
//第m级中的不同系数的蝶形运算
for(j=0;j<lei;j++)
{
//第m级中的相同系数的蝶形
int aa=1;
for(i=j;i<n;i+=le)
{
ip=i+lei;
t=a[ip]*u;
a[ip]=a[i]-t;
a[i]=a[i]+t;
}
//每级的旋转因子，由j和w来控制
u=u*w;
}
}
for(i=0;i<nm1+1;i++)
{
cout<<i<<endl;
a[i].display();
}
return 0;
}
实例：
void main()
{
complex A[64];
for (int i=1;i<=64;i++)
{
A[i-1]=complex(cos(i*0.1),cos(i*0.1+1));
}
fft(A,6);
for(int ii=0;ii<64;ii++)
{
cout<<ii<<endl;
A[ii].display();
}
}
本例与matlab中的FFT对比过，运算结果无误。
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1.#include <math.h>
2.#define DOUBLE_PI 6.283185307179586476925286766559
3.
4.// 快速傅里叶变换
5.// data 长度为 (2 * 2^n), data 的偶位为实数部分, data 的奇位为虚数部分
6.// isInverse表示是否为逆变换
7.void FFT(double * data, int n, bool isInverse = false)
8.{
9. matlab傅里叶变换的幅度谱和相位谱int mmax, m, j, step, i;
10. double temp;
11. double theta, sin_htheta, sin_theta, pwr, wr, wi, tempr, tempi;
12. n = 2 * (1 < n);
13. int nn = n >> 1;
14. // 长度为1的傅里叶变换, 位置交换过程
15. j = 1;
16. for(i = 1; i n; i += 2)
17. {
18. if(j > i)
19. {
20. temp = data[j - 1];
21. data[j - 1] = data[i - 1];
22. data[i - 1] = temp;
23. data[j] = temp;
24. data[j] = data[i];
25. data[i] = temp;
26. }
27. // 相反的二进制加法
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