计算⽅法（c语⾔版）靳天飞答案,《数值分析教程》PPT课
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1、计 算 ⽅ 法，第⼀章 引论,⼀、数值分析的概念、地位和特点,1 数值分析的研究对象(课程简介),3，先看两个例⼦。 例1 求⽅程
x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。 理论上可知显然不出根的解析式，即⽆法求出精确解。 例2 ⽤Cramer法则求解n元线性⽅程组。 显然理论上可⾏，且有精确表达式。实际计算时会出现什么问题呢？，若记，则有,n阶线性代数⽅程组:，克莱姆算法，若A是⾮奇异矩阵，则⽅程组有唯⼀解。记D = detA，应⽤Cramer法则可得，即，其中，利⽤Cramer法则求解⽅程组需要进⾏的乘法和除法的次数为：，利⽤计算机⾼速的简单运算(加、减、乘、除)去实现各种复杂的功能。。
2、，数值分析的本质，科学计算 的核⼼内容是以现代化的计算机及数学软件(Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. )为⼯具，以数学模型为基础进⾏模拟研究。，现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算,2. 数值分析的地位，促使⼀些边缘学科的相继出现：计算数学，计算物理学，计
算⼒学，计算化学，计算⽣物学, 计算地质学，计算经济学，等等，实际问题，在建⽴了数学模型之后，并不能⽴刻⽤计算机直接求解，还必须寻⽤计算机计算这些数学模型的数值⽅法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成⼀系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数。
3、值结果。，总的来看，数值分析这门课具有以下⼏个特点：,(1) 数值分析是⼀门与计算机应⽤密切结合的实⽤性很强的学科；,(2) ⾯向计算机，要根据计算机的特点提供实际可⾏的有效算法；,(3) 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性；,3. 数值分析的特点,(4) 要有好的算法复杂性，即时间复杂度和空间复杂度要⼩；,(5) 要有数值试验。,⼆、数值分析的研究内容，理论上课时数：30 上机实验时数：0，参考书： 1. 计算⽅法(c语⾔版)(第1版)，靳天飞等，清华⼤学出版社 ，2010.6，教 材： 1. 数值分析(第5版)，李庆扬等，清华⼤学出版社，2008。
4、.12,2 数值计算的误差,2.1 误差的来源与分类,⽤计算机解决科学计算问题时，需要经历以下⼏个环节：，数值结果是指在选择某种数值⽅法之后，编制程序正确，输⼊初始数据正确的情形下所获得的结果。，实际问题的精确解与⽤计算机计算出来的数值结果之间就有差异，这种差异在数学上称为误差。，模型误差 /* Modeling Error */ 从实际问题中抽象出数学模型时产⽣的误差，观测误差 /* Measurement Error */通过测量得到模型中参数的值 导致输⼊数据的 误差,⽅法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 近似求解时产⽣的误差，舍⼊误差 /* Roun。
5、doff Error */ 由于计算机字长有限⽽在数值运算的每⼀步所产⽣的误差,⼤家⼀起猜？,1,1 / e，解法之⼀：将 作Taylor展开后再积分,|舍⼊误差 /* Roundoff Error */ |,= 0.747 ，由截去部分 /* excluded terms */ 引起，由留下部分 /* included terms */ 引起，设 是某实数的精确值, 是它的⼀个近似值，则称 为近似值 的绝对误差，简称误差.,2.2 误差与有效数字，定义2.1 绝对误差、相对误差，称为 的相对误差，常⽤ 表⽰.，定义2.3 有效数字 /* significant digits */,⽤科学。
6、计数法，记 (其中 ). 若 (即 的截取按四舍五⼊规则)，则称 为有n 位有效数字，精确到 。，注：0.2300有4位有效数字，⽽0.0023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表⽰只有3位有效数字. 数字末尾的0不可随意省去！，例: 设 x1=1.73, x2=1.7321,
x3=1.7320是其近似值, 问它们分别有⼏位有效数字?,3位 5位 4位，定理2.1 有效数字与相对误差的关系, 有效数字 相对误差限，已知 x* 有n 位有效数字，则其相对误差限为, 相对误差限 有效数字，解：，例，有效数字,2.3 求函数值和算术运算的误差估计，初始数据 引起计算函数值的误差。
7、，函数值 A*的绝对误差，略去⾼阶项：，基本运算中的误差估计，例 假定某长⽅形运动场的长为x，宽为y，并实地测得其长x*=100.30⽶，宽y*=80.50⽶，若x*和y*的误差限都是0.005⽶，试求其⾯积s的近似值s*的误差限和相对误差限。，由两个数的积的相对误差限估计式得，解，据题意，，由两个数的积的误差限估计式得，例 在计算球的体积时，为了使相对误差限为1%，问测量半径r时允许的
相对误差限为多少？，从⽽有，解，计算球的体积公式为，设体积，的近似值为,，半径，的近似值为,，则，得到相对误差限估计式为，这说明，测量半径r时允许的相对误差限为1/300。,3 病态问题、数值稳定性与避免误差危。
8、害，问题：对于 y = f (x)，若⽤ x* 取代 x，将对y 产⽣什么影响？,3.1 病态问题与条件数，条件数很⼤时，初始数据的微⼩误差可能引起结果 A 的很⼤误差.，对数学问题⽽⾔，如果输⼊数据有微⼩扰动，引起输出数据(即数学问题的解)有很⼤扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态问题。，例：计算, 公式⼀：，注意此公式精确成⽴,?,?,? !,! !,What happened?!,3.2 数值⽅法的稳定性，考察第n步的误差, 公式，注意此公式与公式⼀ 在理论上等价。,⽅法：先估计⼀个IN ，再反推要求的In ( n N )。，可取，取，考察反推⼀步的误差：，以此类推，对 n N 有。
9、：，误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 /* stable algorithm */，在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的 稳定性会是⼀个⾮常重要的话题。，定义：⼀个算法如果输⼊数据有扰动(即有误差)，⽽计算过程中舍⼊误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。,1. 要避免除数绝对值远远⼩于被除数绝对值的除法;,2。避免两个相近的数相减;,3. 要防⽌⼤数“吃掉”⼩数;,2。应选⽤数值稳定性的计算⽅法;,2。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。，避免误差危害的若⼲原则,3.3 避免误差危害的若⼲原则，避免两个相近的数相减，当遇到两个相近的数相减时，参与运算的数应。
10、当多保留⼏位有效数字或者变换原来公式以避免这种情况的发⽣ 。，由前⾯公式可知，可以看到，如果两个相近的数相减，则,⽽相对误差限就会⽐较⼤，故有效数字位会⼤⼤减少。，较⼩，，例 给定，若使⽤计算机计算有,，应如何变换公式使有效数字位增加？,，若使⽤计算器取四位有效数字计算，解，使⽤计算器计算取四位有效数字得，从⽽得到，但由于,⽽使⽤计算器取四位有效数字得，所以有，这说明变换公式后能使有效数字位由1位增加到3位。, ⼏种经验性避免⽅法：，当 | x | 1 时：，取右端的有限项近似代替左端。，要防⽌⼩数被⼤数“吃掉”⽽使有效数字位损失，例 求⼀元⼆次⽅程，在数值运算中，如果两个参与运算的数相差太⼤。
11、，则⼩数有可能被⼤数“吃掉”⽽使有效数字位损失，从⽽影响计算结果的可靠性。，的根。，远远⼤于，解，求⼀元⼆次⽅程的根可以使⽤公式，有可能，可能损失有效数字位，使计算结果出现错误。，按新的求根公式计算得到⽅程两个准确根为，例如，在只有7位有效数字的计算机系统上使⽤求根公式解⽅程，得到的两个根为，要避免这种错误的发⽣，可以修改求根公式为 ，，要注意减少运算的次数，对于⼀个计算问题，如果能减少运算次数的话，我们不仅能减少计算时间，提⾼运⾏的速度，⽽且还可以减少误差的积累。，如果把原式⼦改写为，解，按公式直接计算每⼀项后，再把每⼀项求和，就要进⾏，则计算n次多项式的算法可以是，按秦九韶算法计算n次多项。
12、式的值，只需要n次乘法和n次加法。，的值。，例 计算n次多项式，次乘法和n次加法。，例 计算 ln2 的近似值，要求误差⼩于10.，解：，计算量太⼤各项的舍⼊误差会损失和的有效数字,(b) ⽤级
数 计算,⽤前 9 项(即取 m = 8)计算就能达到精度要求:,(a) ⽤级数 计算，分母接近零的数会产⽣溢出错误，因⽽产⽣⼤的 误差, 此时可以⽤数学公式化简后再做.，避免做除数绝对值远远⼩于被除数绝对值的除法，利⽤等价变换使下列表达式计算⽐较精确.，例，答案，误差的种类，模型误差：，观测误差，截断误差，舍⼊误差，绝对误差，相对误差，误差的表⽰法，内容回顾，算法设计遵循的条件：,(5)绝对值太⼩的数不宜作为除数 。,(1)应选⽤数值稳定性的计算⽅法 ；,(2)简化计算步骤和公式，设法减少运算次数 ；,(3)合理安排运算顺序，防⽌⼤数淹没⼩数 ；,(4)避免两相近数相减。

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