“(整数值)随机数(random numbers)的产生”教学设计与点评
山西省实验中学张永刚
山西省教育科学研究院薛红霞
一、内容和内容解析
内容：(整数值)随机数(random numbers)的产生是普通高中课程标准实验教材人教A版数学3（必修）第三章概率第二节第二课时的内容，本节课的内容是用计算机或计算器产生取整数值的随机数，用随机模拟的方法估计事件的概率。
产生随机数的方法有两种，本节课要用计算机产生随机数，并根据试验结果设计与统计、概率的意义、概率与频率等相关的问题，帮助学生更好的理解概率的意义和统计思想。
在本节课中通过模拟试验的设计和实施，让学生经历完整的随机模拟过程，体会如何用模拟的方法估计概率。其中设计概率模型需要学生理性的分析，进行模拟实验需要学生实际的操作，统计试验结果需要学生有统计的思想。
因此本课时的教学重点是：
通过模拟试验的实施，了解计算机产生随机数的方法；通过模拟实验的设计和实施，体会如何运用模拟试验的方法估计概率。
二、目标和目标解析
1．通过介绍让学生了解产生（整数值）随机数的两种方法，并理解计算机产生随机数的特征和过程；
2．通过教师演示及每一位学生的亲自实践，区别用Excel与用QBASIC两种软件的优点与不足，掌握一定的用计算机解决数学问题的技能；
3．通过教学使学生学会设计和运用模拟方法近似计算概率，让学生深刻体会到概率与频率的区别，并通过大量模拟试验，让学生充分感受到“大数规律”，从而理解用频率估计概率的科学性。
三、教学问题诊断分析：
对于如何产生整数值随机数，学生不难想到前面学过的“简单随机抽样”的方法，但由于这种方法过于费时费力，所以考虑用计算器或计算机产生随机数，由于计算器或计算机产生的随机数是根据确定算法产生的，具有周期性（周期很长），具有类似随机数的性质，但并不是随机数，称为伪随机数。在实际教学中学生还没有系统的“周期性”的概念，这里可以简要带过，不必深究。
对于教材中计算器与计算机产生随机数的方法，基本类似，故重点介绍操作较为便捷的Excel产生随机数，这一方法让学生直观感受到了随机数的产生过程，但也存在一些问题，因为无论是教材中的哪一种方法，操作中试验模拟次数非常有限，从而导致学生计算出的概率近似值误差偏大，如：教材中的例6，运行结果是25%，而在实际演示和学生操作中很难避免出现15%，40%等值，这种误差的产生虽然是频率估计概率的必然结果，但与准确值28.8%误差过大，很容易导致学生对这一估计方法的科学性产生质疑，鉴于如上思考，可以给出在BASIC中使用的随机函数，让学生设计一个解决例6 问题的BASIC算法程序，模拟试验次数分别给定为1000次、1万次、100万次，学生发现此时的试验结果与准确值28.8% 的误差随着试验次数的增加逐渐减小。
此外，一部份学生对计算机操作较为陌生，可能会产生操作上的一些问题，使得课堂教学不同步。
本节课的主导思想是让学生掌握一种技能（即用计算机模拟试验）；树立一种思想（即算法思想）；加深一处理解（即“频率”与“概率”的区别与联系）。
综上本节课教学的难点是：
设计和运用模拟方法近似计算概率。
四、教学支持条件分析：
本课时的教学最好在机房进行，并且学生可以单机操控，每台机器上需要安装Excel和Qbasic软件。
实际教学时学校机房可以保证每生一机，但只安装了Excel简装版，无法使用“加载宏”命令，只能使用rand（）取整来代替教材中给出的函数。
五、教学过程设计：
问题一：（1）请谈谈“频率”与“概率”的区别与联系？（2）如何用“频率”近似估计“概率”？
设计意图：这是本节课设计的理论依据，也正是需要用本节所研究内容去近一步体会、理解的。
学生活动：学生由以前学过的知识不难答出：
1．频率与试验有关，具有随机性；概率是事件本身的性质，是一个固定的数值。
2．当做出大量重复试验后，频率总是在概率附近波动，当试验次数足够大时，频率的波动就变小，所以，我们常常用频率近似的估计概率，即将大量重复试验后所得的频率近似地看成是概率。
教师点评：要用频率估计概率，需要“做大量的重复试验”。
引出问题二。
问题二：由于做大量重复实验，费时费力，我们可以考虑随机数法，那么如何产生随机数呢？
设计意图：激发学生探究的热情。让学生认识用计算机产生整数值随机数的意义。
预设的活动：由于不久前刚学过统计，学生不难答出“用简单随机抽样”的办法得到随机数。此处可以引导学生设计一个用“摸球”产生0~25的随机数的试验。
excel的随机数函数
教师点评：这种办法没有从根本上减小做大量重复试验的繁杂程度，那么这些试验能用计算机代替吗？答案是肯定的。也即产生随机数的方法通常有两种：方法一，简单随机抽样；方法二，由计算机或计算器随机生成随机数。计算机产生的随机数是依据确定的算法产生的，具有周期性，是伪随机数，但由于周期很长，有随机性的性质，所以可以利用计算机产生随机数进行试验。
教师讲授：
❖随机函数：
Randbetween(a,b)：Excel中使用，产生从整数a到整数b的取整数值的随机数；
Int（q*rand（））：Excel中使用，产生从整数0到整数q-1的取整数值的随机数；
INT(q*RND)：Qbasic中使用，产生从整数0到整数q-1的取整数值的随机数.
设计意图：教材中只给出Excel中使用的Randbetween(a,b)，表示取[a，b]内的所有整数值随机变量，这一函数在使用前需要加载宏命令，由于一些计算机所装的Excel大多是简装版，无法使用这一函数，所以介绍Int（q*rand（））函数，在Excel中使用这一函数的好处有三：其一，适用于所有的简装版Excel，无需加载宏；其二，由于rand（）产生[0，1）均匀随机变量，乘整数q调整范围，再取整即可得到整数值随机变量；其三，便于掌握BASIC
语言中的INT(q*RND)函数。
问题三：你能设计一个用计算机模拟掷均匀硬币的实验吗？约定：用０表示反面，１表示正面。根据试验数据估计反面向上的概率．
设计意图：1．让学生通过计算机的实际操作，掌握随机函数；
2．通过计算机产生的随机数，计算频率，估计概率，加深对频率与概率关系的理解。
学生活动：打开Excel软件，在A1中输入：= Int（2*rand（））.将光标置于A1的右下角向下拖动至少20行，观察产生的随机数。在B1中输入：=sum(A1:A20)，统计正面出现的次数。在C1中输入：=（1-B1）/20，计算出现反面的频率。
在操作时试验次数由学生自定。
学生在操作计算机时可能会遇困难，教师需要巡视帮助学生解决一些操作中产生的问题；
收集学生获得的数据。
教师追问：为什么我们得到的概率不是固定的值？哪个数据更接近实际概率？
学生探究：试验得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验结果可能是不同的。这是频率估计概率出现的必然现象，是不确定性的具体体现。当试验次数不断增加时，通过绘制散点图，发现这个估计值稳定在一个数值附近，这个数值就是概率。
教师点评：这个模拟试验还可以设计为产生1，2，3，4，5，6六个随机数，约定用数字1，2，3表示出现反面。然后进行统计分析。
要想直接得到反面向上的频数还可以用FREQUENCY函数进行统计。
收集学生的数据可能得到的折线图：（情况不唯一）横坐标表示实验次数，纵坐标表示相应的频率。
例（教材中的例6）天气预报说，在今后三天中，每一天下雨的概率为40%，这三天中恰有两天下雨的概率是多少?
例题分析：
问题四：你能类比掷硬币的试验，设计该问题的模拟试验吗？
设计意图：培养学生类比分析问题的能力和习惯。
问题五：如何理解“恰”字的意义？
设计意图：让学生学会如何审题。
学生分析：当且仅当三天中有两天下雨。
问题六：用计算机模拟随机实验，解决问题的关键是什么?
设计意图：培养学生的建模思想。
教师引导学生对比以前解决实际问题中常用的思路，学生分析得到问题的关键是建立一个计算机可以执行的数学模型。
问题七：1.如何用随机数模拟40%?
2.如何模拟三天中恰有两天下雨?
设计意图：将问题分解，削弱问题的综合性，从而使问题简单化，便于学生思考，并提供给学生解决这类问题的普遍方法。
学生探究：1．随机产生[1，10]区间内的整数值随机变量:｛1,2,3,4,5,6,7,8,9，10｝，其中出现任意四个固定值如{1，2，3，4}表示下雨，其出现的频率可近似看成40%。注意也可以是产生随机数{1,2,3,4,5}，其中{1,2}表示下雨。也即设计方案是不唯一的。
2．利用EXCEL产生三列随机数，同一行的任意两列恰好取到规定的数值。
教师讲述：介绍if函数，给出演示后，指导学生动手操作。
设计意图：学生通过自己动手操作提升学生的动手实践能力，在操作过程中体会学习数学的乐趣。
学生活动：打开Excel，在A1中输入：= Int（10*rand（））+1，将光标置于A1的右下角向下拖动至少20行，向右拖动3列，产生随机数{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，。在D1中输入：if(or(and(A1<=4,B1<=4,C1>4), and(A1<=4,B1<4,C1<=4), and(A1<4,B1<=4,C1<=4),)1,0)，使得3列中恰有两列的随机数小于等于4时对应的记录为1，否则记录为0。在E1中输入：=sum(D1:D20)，恰有两天下雨出现的次数。在F1中输入：=E1/20，计算恰有两天下雨的频率。
在操作时试验次数由学生自定。
收集学生获得的数据，进行分析。
问题八：大家执行模拟试验后运行结果的差异很大，为什么会产生这么大的误差？
设计意图：进一步让学生理解频率与概率的关系。
学生探究：因为试验次数大多是在100~200次，试验次数非常有限，这时得到的频率与概率误差也会很大。
问题九：你能设计一个求解该题的算法程序框图吗? 并将你的算法程序框图实现成BASIC语言程序。
提示:
1.随机函数INT(q*RND)，表示随机生成0~q的整数值随机变量;
2.在第一行输入RANDOMIZE TIMER保证随机数的随机性。
设计意图：弥补用EXCEL进行模拟试验受试验次数限制的不足，让学生感受大数定理，同时复习算法的内容，使学生认识到算法应用的普遍性，培养学生的算法思想。
解答：
程序框图如下：

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