I. QUESTION I
Summarize the known constructions of orthogonal matrices and unitary matrices. Give some numerical examples for each construction.
  1》正交矩阵：是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵可以看做是一种特殊的酉矩阵，但存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。
正交矩阵有以下几种等价定义及其判定 (满足的结构性质)
定义1.1 A为n阶实矩阵,若,则称A为正交矩阵. 
定义1.2 A为n阶实矩阵,若,则称A为正交矩阵. 
定义1.3 A为n阶实矩阵,若,则称A为正交矩阵. 
定义1.4 A为n阶实矩阵,若A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A为正交矩阵.
实例：
               
2》酉矩阵：n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵。酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。
酉矩阵的相关性质：
设有矩阵 ，则
（1）若是酉矩阵，则的逆矩阵也是酉矩阵；
（2）若是酉矩阵，则也是酉矩阵；
（3）是酉矩阵的充分必要条件是，它的个列向量是两两正交的单位向量。
一个简单的充分必要判别准则是：
      酉矩阵的共轭转置和它的逆矩阵相等
酉矩阵基本性质:(A是酉矩阵)
1.的行列式的模等于1
    2.,
3.也是酉矩阵，两个n阶酉矩阵的乘积也是酉矩阵
4.的每个(列)行向量(看作酉空间的向量)是单位向量；不同的两个(列)行向量是酉矩阵正交的。
实例：
            （为任意角度）
II. QUESTION II
A Hadamard matrix of orderis anmatrix with elements in such that where is the transpose of and is the identity matrix of order.This class of matrices are useful in many practical applications.
Q1 Does Hadamard matrix exist for any order? Please list a Hadarmard matrix of order with if such a matrix exists.
Q2 Design two Hadamard matricesand of order (where m is odd) such that:
● is orthogonal to;and
● is orthogonal to.
identity matrix是什么意思If this cannot be done for general n, please give numerical examples for the cases that m = 3, 5,7.
Q3 Let be a Hadamard matrix of order n, where for a positive integer m anddenotes the column vector of H. Let
Define
where denotes the absolute value of the inner product of and. Try to derive a lower bound for. If this cannot be achieved, please guess a lower bound for respectively for even and odd m based on numerical results by computer.
2.1
Hadamard 矩阵是以+1和-1两个元素组成的，并且是任意两行互为正交的一种方阵，比如：   
                     
这其中，只能取+1和-1，同时也满足
                     
其实hadamard矩阵它的转置也是一个hadamard矩阵
         
经过MATLAB测试hadamard矩阵并不是存在任何阶次，当且仅当矩阵的阶次为：
             
    此时hadamard矩阵才可能存在。最简单的hadamard矩阵就是[1],只有一个元素，也不难得到2阶的hadamard矩阵为：
                           
其他的所有hadamard矩阵都可以由此构成（当然除了阶次为1），比如阶次为4阶的，其构成如下：
                         
  可以证明：若是hadamard矩阵，则也是hadamard矩阵，证明如下：
不妨令：，则,则 
           
           
很明显可以看出上述A矩阵为hadamard矩阵，并且由此再进行推导可以得出，hadamard矩阵的阶次必须为4的整数倍，所以可以得出在时存在的Hadamard矩阵的阶次分别为：
                           
2.2
由上述的结论和hadamard矩阵的定义可以得出：
    若一个矩阵是hadamard矩阵，则对其进行如下操作（以下变换中的一种或者多种变换），所得到的矩阵还是一个hadamard矩阵，这四种变换分别是：
      1》矩阵的行变换
      2》矩阵的列变换
      3》矩阵的任意一列乘以-1
      4》矩阵的任意一行乘以-1
由上述结论性质可以很容易得到：
（1）当，很容易构造出下面的一个hadamard矩阵
   
   
（2）当，可以由上述2阶hadamard矩阵构成，所得到就是32阶hadamard矩阵。
（3）当，同样可以得到一个128阶的hadamard矩阵。
2.3
要想得到采用matlab可得到，运行程序如下：
  n取任何整数
  A=zeros(1,n);
  B=rand(1,n)
  for  i=1:n
    if (B>=0.5)

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