图优化理论与g2o的使⽤（3）
转载⾃在这⾥，感谢博主的⽆私分享。
内容提要
  讲完了优化的基本知识，我们来看⼀下g2o的结构。本篇将讨论g2o的代码结构，并带着⼤家⼀起写⼀个简单的双视图bundle adjustment：从两张图像中估计相机运动和特征点位置。你可以把它看成⼀个基于稀疏特征点的单⽬VO。
g2o的结构
  g2o全称是什么？来跟我⼤声说⼀遍：General Graph Optimization！你可以叫它g⼟o，g⼆o，g⽅o，总之我也不知道该怎么叫它……
  所谓的通⽤图优化。
  为何叫通⽤呢？g2o的核⾥带有各种各样的求解器，⽽它的顶点、边的类型则多种多样。通过⾃定义顶点和边，事实上，只要⼀个优化问题能够表达成图，那么就可以⽤g2o去求解它。常见的，⽐如bundle adjustment，ICP，数据拟合，都可以⽤g2o来做。甚⾄我还在想神经⽹络能不能写成图优化的形式呢……
  它是⼀个重度模板类的c++项⽬，其中矩阵数据结构多来⾃Eigen。⾸先我们来扫⼀眼它的⽬录下⾯都有什么吧：
  如你所见，g2o项⽬中含有若⼲⽂件夹。刨开那些gitignore之类的零碎⽂件，主要有以下⼏个：
EXTERNAL  三⽅库，有ceres, csparse, freeglut，可以选择性地编译；
cmake_modules  给cmake⽤来寻库的⽂件。我们⽤g2o时也会⽤它⾥头的东西，例如ake
doc    　⽂档。包括g2o⾃带的说明书（难度挺⼤的⼀个说明⽂档）。
g2o      最重要的源代码都在这⾥！
script    在android等其他系统编译⽤的脚本，由于我们在ubuntu下就没必要多讲了。
  综上所述，最重要的就是g2o的源代码⽂件啦！所以我们要进⼀步展开看⼀看！
  我们同样地介绍⼀下各⽂件夹的内容：
apps    ⼀些应⽤程序。好⽤的g2o_viewer就在这⾥。其他还有⼀些不常⽤的命令⾏⼯具等。
core    核⼼组件，很重要！基本的顶点、边、图结构的定义，算法的定义，求解器接⼝的定义在这⾥。
examples  ⼀些例程，可以参照着这⾥的东西来写。不过注释不太多。
solvers    求解器的实现。主要来⾃choldmod, csparse。在使⽤g2o时要先选择其中⼀种。
stuff    对⽤户来讲可有可⽆的⼀些⼯具函数。
types    各种顶点和边，很重要！我们⽤户在构建图优化问题时，先要想好⾃⼰的顶点和边是否已经提供了定义。如果没有，要⾃⼰实现。如果有，就⽤g2o提供的即可。
  就经验⽽⾔，solvers 给⼈的感觉是⼤同⼩异，⽽ types 的选取，则是 g2o ⽤户主要关⼼的内容。然后 core 下⾯的内容，我们要争取弄的⽐较熟悉，才能确保使⽤中出现错误可以正确地应对。
  那么，g2o 最基本的类结构是怎么样的呢？我们如何来表达⼀个Graph
，选择求解器呢？我们祭出⼀张图：
  这个图第⼀次看，可能觉得有些混乱。但是随着g2o 越⽤越多，你会发现越来越喜欢这个图……现在请读者跟着我的顺序来看这个图。
  先看上半部分。SparseOptimizer  是我们最终要维护的东东。它是⼀个Optimizable Graph ，从⽽也是⼀个Hyper Graph 。⼀个 SparseOptimizer  含有很多个顶点 （都继承⾃ Base Vertex ）和很多个边（继承⾃ BaseUnaryEdge, BaseBinaryEdge 或BaseMultiEdge ）。这些 Base Vertex 和 Base Edge 都是抽象的基类，⽽实际⽤的顶点和边，都是它们的派⽣类。我们⽤ SparseOptimizer .addVertex 和 SparseOptimizer .addEdge 向⼀个图中添加顶点和边，最后调⽤ SparseOptimizer .optimize 完成优化。
  在优化之前，需要指定我们⽤的求解器和迭代算法。从图中下半部分可以看到，⼀个 SparseOptimizer  拥有⼀个 Optimization Algorithm ，继承⾃Gauss-Newton, Levernberg-Marquardt, Powell's dogleg 三者之⼀（我们常⽤的是GN 或LM ）。同时，这个 Optimization Algorithm 拥有⼀个Solver ，它含有两个部分。⼀个是 SparseBlockMatrix ，⽤于计算稀疏的雅可⽐和海塞； ⼀个是⽤于计算迭代过程中最关键的⼀步
这就需要⼀个线性⽅程的求解器。⽽这个求解器，可以从 PCG, CSparse, Choldmod 三者选⼀。
  综上所述，在g2o 中选择优化⽅法⼀共需要三个步骤：
1. 选择⼀个线性⽅程求解器，从 PCG, CSparse, Choldmod 中选，实际则来⾃ g2o/solvers ⽂件夹中定义的东东。
2. 选择⼀个 BlockSolver 。
3. 选择⼀个迭代策略，从GN, LM, Doglog 中选。
  这样⼀来，读者是否对g2o 就更清楚的认识了呢？
  ⼩萝⼘：师兄你慢点，我已经晕了……
双视图bundle adjustment ：
  既然⼩萝⼘同学已经晕了，想必我们也成功地把读者朋友都绕进去了。既绕之则绕之，下⾯我们来通过⼀个实例，更深⼊地理解 g2o 的⽤法。这个实例是什么呢？我们来写⼀个双视图的bundle adjustment 吧！
  ⾸先，师兄还是拿出那两张万年不变的⽼图：
  我们的⽬标是估计这两个图之间的运动。虽然我们在《⼀起做》⾥讲过这件事怎么做了，但那是在RGBD 的条件下。现在，我们没有深度图，只有这两张图像和相机内参，请问如何估计相机的运动？
  呃，这个问题好像还挺复杂的。我们需要⽤⼀点数学来描述它。所以请⼤家耐⼼看我推⼀会⼉公式。
  求解这个问题，当下有两种思路。其⼀是通过特征点来求，其⼆是直接通过像素来求。第⼀种也叫做 sparse ⽅式，第⼆种叫做相对的 dense ⽅式。由于主流仍在⽤特征点，所以我们例程也⽤特征点。
HΔx=−b
HΔx =−b
  特征点⽅法的观点是：⼀个图像可以⽤⼏百个具有代表性的，⽐较稳定的点来表⽰。⼀旦我们有了这些点，就可以忽略图中的其余部分，⽽只关注这些点。（dense 思路则反对这⼀观点，认为它丢弃了图像⼤部分信息，毕竟⼀个640x480的图有30万个点，⽽特征点只有⼏百个）。
  采⽤特征点的思路，那么问题变为：给定个两张图中⼀⼀对应的点，记作：
以及相机内参矩阵  ，求解两个图中的相机运动 。
  注：字符的上标不是⼏次⽅的意思，⽽是第⼏个点。采⽤上标的原因是为了避免双下标带来的⿇烦。同时，每个点的具体值，是指该点对应的像素坐标：，它们是⼆维的。
　⼩萝⼘：师兄啊，这图⼀股浓浓的⼭寨味啊。
  不管它，总之，假设相机1的位姿为单位矩阵，对于任意⼀个特征点，它在三维空间的真实坐标位于 ，⽽在两个相机坐标系上看来是
。根据投影关系，我们有：
  这⾥的  表⽰两个像素的深度值，说⽩了也就是相机1坐标下的坐标。虽然我们不知道这个实际的是什么，但它和之间的关系，是可以列写出来的。
  这个问题的传统求解⽅式，是把两个⽅程中的消去，得到只关于的关系式，然后进⾏优化。这条道路通向对极⼏何和基础矩阵（Essential Matrix ），理论上，我们需要⼤于⼋个的匹配点就能计算出。但这⾥我们并不这样做，因为我们是在介绍图优化嘛。
  在图优化中，我们构建⼀个优化问题，并表⽰成图去求解。这⾥的优化问题是什么呢？这可以这样写：
  由于各种噪声的存在，投影关系不能完美满⾜，所以我们转⽽优化它们误差的⼆范数。那么对每⼀个特征点，我们都能写出这样⼀个⼆范数的误差项。对它们进⾏求和，就得到了整个优化问题：
  它叫做最⼩化重投影误差问题（Minimization of Reprojection error ）。当然，它很遗憾地，是个⾮线性，⾮凸的优化问题，这意味着我们不⼀定能求解它，也不⼀定能到全局最优的解。在实际操作中，我们实际上是在调整每个，使得它们更符合每⼀次观测，也就是使每个误差项都尽量的⼩。由于这个原因，它也叫做捆集调整（Bundle Adjustment ）。
  BA 很容易表述成图优化的形式。在这个双视图BA 中，⼀种有两种结点：
相机位姿结点：表达两个相机所在的位置，是⼀个⾥的元素。
特征点的空间位置结点：是⼀个XYZ 坐标。
  相应的，边主要表⽰空间点到像素坐标的投影关系。也就是
这件事情喽。 实现
N N  z1={z11,z12,…,z1N},z2={z21,z22,…,z2N}
cmake如何使用
={,,…,},={,,…,}z 1z 11z 21z N 1z 2z 12z 22z N 2 C C  R,t R,t  z z  z z  zij=[u,v]ij =[u,v z j i ]j i  Xj X j  z1j,z2j ,z j 1z j 2 (1)λ1[z1j1]=CXj,λ2[z2j1]=C(RXj+t)
[]=C ,[]=C (R +t)λ1z j 11X j λ2z j 21X j (1)  λ1,λ2,λ1λ2  Xj X j  z z  Xj X j  z z  Xj X j  z,R,t z,R,t  R,t R,t  (2)minXj,R,t ∥1λ1CXj −[z1j,1]T∥2+∥1λ2C(RXj+t)−[z2j,1]T∥2+min ,R,t X j C −∥∥∥1λ1
X j [,1]z j 1T ∥∥∥2C (R +t)−∥∥∥1λ2X j [,1]z j 2T ∥∥∥2(2) (3)minX,R,t ∑j=1N∥1λ1CXj −[z1j,1]T∥2+∥1λ2C(RXj+t)−[z2j,1]T∥2
+min X,R,t ∑j=1N C −∥∥∥1λ1X j [,1]z j 1T ∥∥∥2C (R +t)−∥∥∥1λ2X j [,1]z j 2T ∥∥∥2(3)  Xj X j  zj z j  SE(3)SE(3) λ[zj1]=C(RXj+t)
λ[]=C (R +t)z j 1
X j
  下⾯我们来⽤g2o实现⼀下BA。选取的结点和边如下：
结点1：相机位姿结点：g2o::VertexSE3Expmap，来⾃<g2o/types/sba/types_six_dof_expmap.h>；
结点2：特征点空间坐标结点：g2o::VertexSBAPointXYZ，来⾃<g2o/types/sba/types_sba.h>；
边：重投影误差：g2o::EdgeProjectXYZ2UV，来⾃<g2o/types/sba/types_six_dof_expmap.h>；
  为了给读者更深刻的印象，我们显⽰⼀下边的源码（也请读者最好亲⾃打开g2o下这⼏个⽂件看⼀下顶点和边的定义）：
  这个是 EdgeProjectXYZ2UV 边的定义。它是⼀个Binary Edge，后⾯的模板参数表⽰，它的数据是2维的，来⾃Eigen::Vector2D，它连接的两个顶点
必须是 VertexSBAPointXYZ， VertexSE3Expmap。我们还能看到它的 computeError 定义，和前⾯给出的公式是⼀致的。注意到计算Error时，它调⽤了
g2o::CameraParameters 作为参数，所以我们在设置这条边时也需要给定⼀个相机参数。
  铺垫了那么多之后，给出我们的源码：
/**
* BA Example
* Author: Xiang Gao
* Date: 2016.3
* Email: gaoxiang12@mails.tsinghua.edu
*
* 在这个程序中，我们读取两张图像，进⾏特征匹配。然后根据匹配得到的特征，计算相机运动以及特征点的位置。这是⼀个典型的Bundle Adjustment，我们⽤g2o进⾏优化。 */
// for std
#include <iostream>
// for opencv
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include <opencv2/features2d/features2d.hpp>
#include <boost/concept_check.hpp>
// for g2o
#include <g2o/core/sparse_optimizer.h>
#include <g2o/core/block_solver.h>
#include <g2o/core/robust_kernel.h>
#include <g2o/core/robust_kernel_impl.h>
#include <g2o/core/optimization_algorithm_levenberg.h>
#include <g2o/solvers/cholmod/linear_solver_cholmod.h>
#include <g2o/types/slam3d/se3quat.h>
#include <g2o/types/sba/types_six_dof_expmap.h>
using namespace std;
// 寻两个图像中的对应点，像素坐标系
// 输⼊：img1, img2 两张图像
// 输出：points1, points2, 两组对应的2D点
int    findCorrespondingPoints( const cv::Mat& img1, const cv::Mat& img2, vector<cv::Point2f>& points1, vector<cv::Point2f>& points2 );
// 相机内参
double cx = 325.5;
double cy = 253.5;
double fx = 518.0;
double fy = 519.0;
int main( int argc, char** argv )
{
// 调⽤格式：命令 [第⼀个图] [第⼆个图]
if (argc != 3)
{
cout<<"Usage: ba_example img1, img2"<<endl;
exit(1);
}
// 读取图像
cv::Mat img1 = cv::imread( argv[1] );
cv::Mat img2 = cv::imread( argv[2] );
/
/ 到对应点
vector<cv::Point2f> pts1, pts2;
if ( findCorrespondingPoints( img1, img2, pts1, pts2 ) == false )
{
cout<<"匹配点不够！"<<endl;
return 0;
}
cout<<"到了"<<pts1.size()<<"组对应特征点。"<<endl;
// 构造g2o中的图
// 先构造求解器
g2o::SparseOptimizer    optimizer;
/
/ 使⽤Cholmod中的线性⽅程求解器
g2o::BlockSolver_6_3::LinearSolverType* linearSolver = new  g2o::LinearSolverCholmod<g2o::BlockSolver_6_3::PoseMatrixType> ();    // 6*3 的参数
g2o::BlockSolver_6_3* block_solver = new g2o::BlockSolver_6_3( linearSolver );
// L-M 下降
g2o::OptimizationAlgorithmLevenberg* algorithm = new g2o::OptimizationAlgorithmLevenberg( block_solver );
optimizer.setAlgorithm( algorithm );
optimizer.setVerbose( false );
// 添加节点
// 两个位姿节点
for ( int i=0; i<2; i++ )
{
g2o::VertexSE3Expmap* v = new g2o::VertexSE3Expmap();
v->setId(i);
if ( i == 0)
v->setFixed( true ); // 第⼀个点固定为零
// 预设值为单位Pose，因为我们不知道任何信息
v->setEstimate( g2o::SE3Quat() );
optimizer.addVertex( v );
}
// 很多个特征点的节点
// 以第⼀帧为准
for ( size_t i=0; i<pts1.size(); i++ )
{
g2o::VertexSBAPointXYZ* v = new g2o::VertexSBAPointXYZ();
v->setId( 2 + i );
// 由于深度不知道，只能把深度设置为1了
double z = 1;
double x = ( pts1[i].x - cx ) * z / fx;
double y = ( pts1[i].y - cy ) * z / fy;
v->setMarginalized(true);
v->setEstimate( Eigen::Vector3d(x,y,z) );
optimizer.addVertex( v );
}
// 准备相机参数
g2o::CameraParameters* camera = new g2o::CameraParameters( fx, Eigen::Vector2d(cx, cy), 0 );
camera->setId(0);
optimizer.addParameter( camera );
// 准备边
// 第⼀帧
vector<g2o::EdgeProjectXYZ2UV*> edges;
for ( size_t i=0; i<pts1.size(); i++ )
{
g2o::EdgeProjectXYZ2UV*  edge = new g2o::EdgeProjectXYZ2UV();
edge->setVertex( 0, dynamic_cast<g2o::VertexSBAPointXYZ*>  (optimizer.vertex(i+2)) );
edge->setVertex( 1, dynamic_cast<g2o::VertexSE3Expmap*>    (optimizer.vertex(0)) );
edge->setMeasurement( Eigen::Vector2d(pts1[i].x, pts1[i].y ) );
edge->setInformation( Eigen::Matrix2d::Identity() );
edge->setParameterId(0, 0);

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