课题 | §4.2一次函数与正比例函数 | 课型 | 新授课 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
章节 | 第四章 第二节 | 授课人 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教学目标 | 重点难点及策略 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.经历一次函数概念的抽象过程,体会模型思想,发展符号意识。 2.理解正比例函数和一次函数的概念,能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。 | 【教学重点】理解一次函数和正比例函数的概念。 【教学难点】能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力。 【教学策略】信息技术辅助的教学策略. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教 材 分 析 | 本节课选自北师大版初中数学八年级上册第四章第二节《一次函数与正比例函数》,学生在第四章的第一节已经学习了函数的定义和表示方法,对函数有了初步的了解,本节课的学习,为学生后面继续学习反比例函数、二次函数做好铺垫。函数是建立现实世界数学模型额有效手段,可以让学生形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
学 生 分 析 | 七年级下学期学生已经探索了变量间关系,在此基础上,本章的前一节继续通过对变量关系的考察,让学生初步体会函数概念,能判断两变量间的关系是否可看做函数。本节课进一步研究其中最简单的一次函数,由于有了前面内容的铺垫,学生已经会建立变量间关系,本节课是已经学过知识的延伸。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教学过程设计 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 信息技术的设计与使用预期效果 | 设计意图 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
第一环节: 回顾与思考 | 同学们,首先我们一起复习一下上节课学习过的内容。 1)什么是函数? 2)函数有哪些表示方法? 3)在现实生活中有很多问题可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子? | 1)函数: 在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量. 2)函数表达方式: 列表法、关系式法、图象法。 3)上网费用是2元/小时,上网t小时,费用为y元,y是t的函数。 …… | 用ppt播放问题和答案,压缩课堂时间。问题(1)(2)学生都能快而准的回答,问题(3)是一个开放性问题,学生不能很准确的表述出来,可以让学生互相补充,或根据学生水平教师先举例,抛砖引玉。 | 为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了复习旧知识,诱导性内容的引入方法,除了复习上节课的内容,还让学生把所学知识运用到实际生活,提高学生的运用意思。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
第二环节: 引入与交流 | 情景一:某种大米的单价是2.2元/千克,当购买x千克大米,花费为y元,请写出y与x的关系式。 情景二:某弹簧的自然长度为3厘米,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1千克,弹簧长度y增加0.5厘米。 (1)计算所挂物体的质量分别为1千克、 2千克、 3千克、 4千克、 5千克时的长度,并填入下表:
(2)你能写出y与x之间的关系式吗? 小组活动:你能发现列函数关系式的步骤吗? 情景三:某辆汽车油箱中原有汽油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L. (1)完成下表:
(2)你能写耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗? (3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗? | 等量关系:花费=单价×重量 关系式:y=2.2x
等量关系:弹簧长度=弹簧自然长度+增加的长度 关系式:y=3+0.5x或y=0.5x+3 1.审题——关键句子 2.等量关系——每一个量用数学符号表示 3.列关系式
等量关系:耗油量=每千米耗油量×路程 关系式:y=0.12x 关系式:y=60-0.12x或y=-0.12x+60 | 用课件展示题目,让学生经历前两个情景列关系式的过程,通过讨论互相补充,基本可以将步骤较完整的回答出。 力图通过函数表格的表现形式,使学生感受一次函数的线性变化趋势,当自变量进行等差变化时,因变量也在随之进行等差变化,即一个变量(不管其原始数值如何)改变一个固定的常数后,另一个变量的相应改变量也是固定的。问题2难度较大,需要逐步引导学生通过关键句子到等量关系,在代数表达式上表现为x、y之间的一次关系。 | 两个情景的设计,情景一较简单,学生从生活经验入手就可以列出,这其实也是列出函数关系式的第一种渠道——根据生活经验。情景二的弹簧问题是课本上题目,由于问题较简单,很多学生结合生活中所见就能解决。 从学生身边生活入手,设计两个情景,可以增加学生的学习兴趣。学生经历列函数关系式的过程,可以初步得到列函数关系式的步骤。本节课的难点之一就是如何列函数表达式,在两个情景与学生的充分交流后,学生能够对难点有初步的突破。 通过在列表活动中数据变化情况的观察,可以帮助学生获得关于变化规律的猜想,从而猜想并验证其代数表达式。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
第三环节: 小结与归纳 | 请同学们观察以上得到的四个关系式,他们在形式上有什么共同特征呢? 点评探究过程,同时由以上函数都可以写成因变量=系数×自变量+常数或因变量=系数×自变量的形式,导入一次函数和正比例函数的定义。 继续提问:k为什么不能为0?正比例函数与一次函数存在着怎样的特殊关系? | y=0.5x+3 y=-0.12x+60 y=2.2x y=0.12x 小组内充分交流。 不同小组发言互相补充。 一般地,我们把y=kx+b (k≠0,k、b为常数)叫做一次函数;特别地,当b=0时,把y=kx (k≠0)叫做正比例函数。 正比例函数是特殊的一次函数。 | 通过上一个教学环节得到的函数关系式,直观教学及对比、联想同时,教师的适当引导,不仅使学生快速掌握知识,而且有助于加深学生印象,加强了对学生观察、对比、联想等逻辑思维能力的培养。学生通过小组讨论,并不能迅速发现这些函数在形式上的所有特点,教师在巡视中除了要及时点拨,在学生回答问题时可以让不同学生互相补充。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
第四环节:巩固与拓展 | 提问: 1.你能举一个正比例函数的例子吗? 2.你能举一个一次函数的例子吗? 3.你能举一个一次函数但非正比例函数的例子吗? 基础练习: 1、下列函数中,哪些是一次函数 (1)y=-3x+7; (2)y=-x+1; (3)y=x2+1; (4)y=8x; (5) ; (6) ; (7)s=2t-3(s、t是变量) 请分别说出这些函数的k和b值。 例1:写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系。 (2) 圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系; (3) 某水池有水15m3,现打开进水管进水,进水速度为5m3/h,x h后这个水池内有水y m3。 自2018年10月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入不超过5000元的部分不收税;月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收3%所得税;月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收10%所得税……。如某人月收入6960元,他应缴个人工资、薪金所得税为(6960-5000)×3%=58.8(元)。 (1)当月收入大于5000元而又不超过8000元时,写出应缴所得税y(元)与月收入x(元) 之间的关系式. (2)某人月收入为5760元,他应缴所得税多少元? (3)如果某人本月应缴所得税84元,那么此人本月工资、薪金是多少元? 拓展: (1)要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数则n,m应满足 , . (2) 小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看,该空格里原来填的数是多少?解释你的理由。 | 学生回答问题,学生进行点评纠正。 1.2.4.5.7是一次函数。 (1)k=3,b=7 (2)k=-1,b=1 (4)k=8,正比例函数 (5)k=1/6,正比例函数 (7)k=2,b=-3 (1)由路程=速度×时间,得y=60x ,y是x的 一次函数,也是x的正比例函数。其中的k值是60. (2)由圆的面积公式,得y= πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数。 (3)这个水池每小时增加5m3水,x h后增加5x m3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.其中的k值是5,b值是15. (1)当月收入大于5000元而又不超过8000元时,y=(x-5000)×3%,即y=0.03x-150 (2)当x=5760时,y=0.03×5760-150=22.8(元) (3)因为(8000-5000) ×3%=90,84<90,所以此人本月工资薪金收入不超过8000元,设此人本月工资薪金收入是x元,则84=0.03x-150x,x=7800.即此人本月工资薪金收入是7800元。 (1)要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,那么x的指数要为1,则n=2,x的系数k0,则m2. (2) 空格填1 | 在学生讲解题目时,采用实物投影的方式,让课堂更高效。学生在导学案上完成题目,是经过充分思考,不容易造成上台做题紧张的情况。 由于新的个人所得税政策与学生学习生活较远,学生了解甚少,所以此环节安排学生提前回家上网查阅资料,此环节可以让学生进行讲解。 在学生讲解题目时,采用实物投影的方式,让课堂更高效。学生在导学案上完成题目,是经过充分思考,不容易造成上台做题紧张的情况。 | 一系列的问题串让学生在对正比例函数和一次函数的概念和形式上更扩大加深理解。 此环节是课堂的小高潮,学生之间的互动在前面活动中热身后升华,若能掌握两种函数的概念,则可以通过此环节互相纠错巩固。 进一步通过练习题巩固学生对一次函数以及正比例函数概念及形式的理解和应用。 第一题是对一次函数概念的拓展,学生不仅要会判断关系式中的k值和b值,也要了解一次函数中自变量指数和系数是有要求的.第二题是希望学生体会一次函数的本质是两个变量之间的一种线性增长关系,有助于学生在后面学习一次函数图像中帮助学生更好理解. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
第五环节:课堂小结 | 在知识与方法上,本节课你有哪些收获? | 让学生从知识、方法、生活上谈收获,可以在反思中感受函数在生活中无处不在. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
第六环节:当堂检测 | 1.已知函数y=(2-m)x+2m-3.当m= 时,函数为正比例函数,当m 时,函数为一次函数. 2.已知△ABC一边AB上的高为8,△ABC的面积y与△ABC的AB边x的关系式. | (1)m=3/2;m2 (2)等量关系: Y=4x | 第一题考察对一次函数和正比例函数概念的掌握,第二题考察学生列函数关系式的能力,这两题的考察点都是本节课的重难点,学生顺利完成即代表本节课熟练掌握. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
课后作业: | 必做:课本P81随堂练习2 习题4.2知识技能 问题解决 选做:函数世界里还有哪些成员,上网或查阅资料进行初步了解. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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