反比例函数与一次函数
1．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
2.函数的图象
函数的图象定义：
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；
②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；
③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满
足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．3.函数的表示方法
函数的三种表示方法：____、____、____．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；
②它们之间可以互相转化．
4．反比例函数的性质
反比例函数的性质：
（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是____；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；一次函数与正比例函数概念
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
5．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y=xk（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
7．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题：
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．
②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．
③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，到关键的点，运用好数形结合的思想．
8．反比例函数综合题（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．9.一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣bk，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐
标尽量取整数，以便于描点准确．
②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函
数的图象．如x=a，y=b 分别是与y 轴，x 轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx 平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：________；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
10．一次函数图象与系数的关系由于y=kx+b 与y 轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限．
11．两条直线相交或平行问题直线y=kx+b，（k≠0，且k，b 为常数），当k 相同，且b 不相等，图象平行；当k 不同，且b 相等，图象相交；当k，b 都相同时，两条线段重合．（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．例如：若直线y 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2平行，那么k 1=k 2．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
14．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y=k
1
x和反比例函数y=在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k
1与k
2
同号时，正比例函数y=k
1
x和反比例函数y=在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k
1与k
2
异号时，正比例函数y=k
1
x和反比例函数y=在同一直角坐标系中有0个交点．
1.函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
【例1】（2014•成都双流中学期末）在函数中，自变量x的取值范围是（）
A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞
练1.（2014春•湘潭中学质检）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）
A．y=B．y=C．y=x﹣3D．y=
2.待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质．
【例2】（2014•山西中考一模）如果反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），那么k的值为（）A．B．C．﹣6D．6
练2.已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）
A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限
3.反比例函数图象上点的坐标特征．
【例3】（2014•河北博野县一模）点M （﹣2，3）在曲线y=上，则下列点一定在该曲线上的是（）
A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（3，2）练3.已知点P（m，n）在某反比例函数的图象上，则此图象上还有点（）A．（0，0）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n）D．（﹣m，n）4．一次函数的图象．
【例4】（2014•秋•宜昌校级月考）关于x 的一次函数y=kx+k 2
+1的图象可能正确的是（）
A．B．C．
D．
练4.已知函数y=kx+b 的图象如图，则y=2kx+b 的图象可能是（
）
A．B．C．D．
5．反比例函数与一次函数的交点问题．【例5】（2014•东营中学期中）如图所示，反比例函数y 1与正比例函数y 2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若
y 2＞y 1＞0，则x 的取值范围在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
练5．如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m 在第一象限交于点P（6，2），A、B 为直线上的两点，点A 的坐标为2，点B 的横坐标为3．D、C 为反比例函数图象上的两点，且AD、BC 平行于y 轴．
（1）直接写出k，m 的值；（2）求梯形ABCD 的面积．
1．若一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则（）
A．k＜0B．k＞0C．b＜0D．b＞0
2．如果函数y=ax+b（a＜0，b＜0）和y=kx（k＞0）的图象交于点P，那么点P应该位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
4．在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）
m1234
v0.01  2.98.0315.1
A．v=2m﹣2B．v=m2﹣1C．v=3m﹣3D．v=m+1
5．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（）
A．B．C．D．
6．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（）
A．不小于4.8ΩB．不大于4.8ΩC．不小于14ΩD．不大于14Ω
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