“反比例函数”教材分析报告
一、教材的基本信息
人教版数学九年级下册第二十六章第一课时“反比例函数”。
二、课标分析
（一）课程目标分析
1.掌握数与式的运算，能够解释运算结果的意义（P14）
2.会用反比例函数描述现实问题中的数量关系和变化规律，形成合适的运算思路解决问题；形成抽象能力、模型观念，进一步发展运算能力（P14）
3.探索在不同的情境中从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学和其他学科的知识从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法，能运用几何直观、逻辑推理等方法解决问题，形成模型观念和数据观念（P15）
4.关注社会生活中与数学相关的信息主动参与数学活动：在解决数学问题的过程中，能够克服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的价值，欣赏并尝试创造数学美；养成认真勤奋、独立思考，合作交流反思质疑的学习习惯（P15）
（二）课程内容标准分析
1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式（P57）
2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解和时图象的变化情况(P58)
3.能用反比例函数解决简单实际问题(P58)
（三）学业要求
1.结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式（P61）
2.会用描点法画出反比例函数的图像（P61）
3.知道当和时反比例函数图象的整体特征(P61)
4.能用反比例函数解决简单实际问题(P61)
三、教材内容分析
（一）知识的逻辑结构分析
1.知识点
在一般情况下，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成一次函数与正比例函数概念(k为常数，k≠0，x≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数，且y也不能等于0。k>0时，图象在一、三象限。k<0时，图象在二、四象限。k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交。
2.知识点间的内部关系
当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大；当k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
因为在中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|。
反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。
3.新旧知识间的联系
在正比例函数时，x与y的商一定（x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。在y=kx+b（k，
b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。
4.体现的数学核心素养
模型观念：模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识。知道数学建模是数学与现实联系的基本途径；初步感知数学建模的基本过程，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。模型观念有助于开展跨学科主题学习，感悟数学应用的普遍性。
几何直观：几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。
推理意识：推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。知道可以从一些事实和
命题出发，依据规则推出其他命题或结论；能够通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步的结论；通过法则运用，体验数学从一般到特殊的论证过程；对自己及他人的问题解决过程给出合理解释。推理意识有助于养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力，是形成推理能力的经验基础。
抽象能力:抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力。能够从实际情境或跨学科的问题中抽象出核心变量、变量的规律及变量之间的关系，并能够用数学符号予以表达；能够从具体的问题解决中概括出一般结论，形成数学的方法与策略。感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣。
（二）知识内部分析
1.知识的发生发展过程（数学史的角度）
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
正反比例函数，也称为双曲线函数或者黄金分割函数，是一个在数学和自然界中都广泛存在的函数形式。其历史起源可以追溯到公元前300年左右的希腊数学家欧几里得的《几何原本》一书中，他用黄金分割比例来构造五边形和十边形等多边形，而这种构造方法正好涉及了正反比例函数的概念。
在17世纪，德国数学家约翰·沃勒斯坦（Johann Wallis）首次使用“双曲线”这个术语来描述正反比例函数，他将这种函数形式与另外两种常见的函数形式——圆和椭圆相对比较，从而建立了双曲线的基础理论。此后，双曲线和正反比例函数逐渐被应用于各种数学领域，如微积分、复变函数、代数几何等，并对物理学、工程学等学科的发展产生了深远影响。
4.挖掘、拓展教材中学生易产生疑问或感兴趣的问题
一次函数y ＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y＝kx（k≠0）呢？
画函数图象的方法是什么？其一般步骤有哪些？应注意什么？
反比例函数的图象是什么样呢
3.分析教材知识在生产生活、科学技术中的实际应用
磅秤，在被称量物体质量一定的时候，所用秤砣的质量和秤砣与支点的距离成反比例函数；面团的体积是一定的，当你把它做成拉面时，面条粗，长度就短一些；面条细也就能拉的长一些；百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例；排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例；做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数；买东西（实际就用文具用品），总钱数一定，它的单价和数量是反比例；长方形的面积一定，长和宽是反比例；长方体的体积一定，底面积和高是反比例。 
（三）其他
1.习题的设计意图
反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数， 它为今后学习图象和曲线的关系（如二次函数） 提供了研究方法． 反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章教学重点。
（1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解。
（2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0，x≠0）。
教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。
    教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的，一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法，二是让学生进一步体会函数所
蕴含的“变化与对应”的思想，特别是面数与自变量之间的单值对应关系。
补充例1、例2都是常见的题型，能暂助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的面数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。
2.学生的学习方式
使学生理解并掌握反比例函数的概念,能判新一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求的数解析式，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会面数的模型思想，理解反比例函数的概念，能概据已知条件写出函数解析式，理解反比例函数的概念.

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