一次函数与正比例函数
一、学生起点分析
在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续 通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系 是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数    次函数.由于
有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还 不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成 x+y = l,x-y = -l⅜,培养学生良好的书写习惯.
二、教学任务分析
《一次函数与正比例函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年 级(上)第四章《一次函数》的第二节.本节内容安排了 1个课时：让学生理解 一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并 初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般 规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识 的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作 为一次函数特殊情况给出来的.
本节课教学目标分析是：
(1)理解一次函数和正比例函数的概念；
(2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
(3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
(4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力.
(5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发 学生学数学、用数学的兴趣.
(6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
本节课教学重点是：
理解一次函数和正比例函数的概念.
本节课教学难点是：
能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.
三、教学过程设计
本节课设计了七个环节：第一环节:复习引入；第二环节：新课讲述；第三 环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂 小结；第七环节：布置作业.
第一环节：复习引入
内容：复习上节课学习的函数,教师提出问题：
(1)什么是函数？
(2)函数有哪些表示方式？
(3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些 例子呢？
意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了 “复习旧 知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1) (2)复习上节课的内容，问题⑶是让学生 把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识.
效果：
问题(1) (2)学生都能快而准的回答，问题(3)是在一个开放的环境中回答,学 生不能很准确的表述出来,可让学生互相补充,也可教师进行补充、完善.通过学 生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受成 功的喜悦,充分体现了本节课的情感、态度目标.
若课堂气氛比较沉闷，也可由教师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生 的学习激情,再让学生举例：(如可补充如下习题)
①假设某学生骑自行车的速度为Iokm∕h,则他骑自行车用的时间t(h)和所走 过的路程S之间的关系是什么？
②上网费用是2元/小时,则上网t (小时)，费用y (元)的关系式是什么？
第二环节：新课讲述
内容：
例1某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内，所挂物体的质量X每增加1kg, 弹簧长度y增加0. 5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度，并
填入下表:
一次函数与正比例函数概念
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
⑵你能写出X与y之间的关系式吗？
答案⑴ 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ； (2) y= 3+ ().5x.
例2某辆汽车油箱有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L. (1)完成下表：
汽车行驶路程 x/km
0
50
100
150
200
300
油箱剩余汽油量
y/L
(2)你能写出X与y之间的关系式吗？
(3)汽车行驶的路程X可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢? 通过观察、探索、总结，归纳出一次函数与正比例函数的概念：
一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成y="+力(％/为常数，ZW 0)的形式,则称y是X的一次函数(X是自变量，y为因变量).特别地,当b= O时, 则y是X的正比例函数.
意图：从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发,通 过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.
效果：
从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立 障，引导学生大胆猜想，勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，提 高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力.
主要从函数解析式这一角度去研究一次函数，这是学生第一次正式接触函数 的表达式，教学中可根据学生状况多加一些例子，让学生逐步学会从函数表达式 去认识函数，进一步掌握一次函数的定义.
第三环节：巩固练习
内容：
L 在函数(1) y = —, (2) y= x・ 5, (3) y = - 4x, (4) y = 2x2 - 3x, x
(5)y= √Γ3 (6) y=」一中是一次函数的是    ,是正比例函数
%- 2
的是.
2.若函数y= (6+ 3m)X + 4n- 4是一次函数，则m,n应满足的条件
是;若是正比例函数,则也〃应满足的条件是.
3.当左二 时，函数y=伏+ 3)f'8. 5是关于X的一次函数.
意图：对本节知识进行巩固练习.
效果：学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果.
在第3题中，学生易忘记k + 3 WO的条件,而错误的将答案写成± 3.
第四环节：知识提高
内容：
例3写出下列各题中X与y之间的关系式,并判断：y是否为X的一次函数？
是否为正比例函数？
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y (千米)与行驶时间X (时)
之间的关系；
(2)圆的面积y (厘米2)与它的半径X (厘米)之间的关系；
(3)某水池有水15(π?)水，先打开进水管进水，进水速度为5n?/h, Xh
后这个水池内有水ym∖
答案：⑴由路程二速度X时间,得y=60x, y是X的一次函数,也是X的正比
例函数；
(2)由圆的面积公式,得y= px2, y不是X的一次函数，也不是X的正
比例函数；
(3)某水池有水15(常)水,χ(h)增加5x(ι∏3)水,因而y=15+5x, y是X
的一次函数，但不是X的正比例函数。
例4某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3 分钟)，超过50次后,每次0.2元.
(1)写出每月电话费y(元)与通话次数X(X >50)的函数关系式；
(2)求出月通话150次的电话费；
(3)如果某月通话费为53. 6元,求该月通话的次数.
分析:解决此类问题首先要理解题意，然后出相等关系.此题相等关系为： 每月通话费=月租费+超过50次后电话费.
答案：⑴根据题意得：y= 25+ U- 50) × 0.2, BPy= 0.2x+ 15；
(2)当X= 150时，y= 0.2 × 150+ 15= 45；
(3)因为53.6>25,可知通话次数大于50次，即当y= 53.6时,求X的
值.53.6= 0.2x+ 15,解得X= 193.
意图：通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概 念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用， 发展学生的抽象思维能力.
充分加强数学与现实的联系，促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力 的发展.
效果：
根据已知条件写出简单的一次函数的表达式，教学时，学生会出现一定的差 异，此时，要给予学生足够的思考时间，必要的时候可组织学生交流讨论，而不能 是简单的“告诉”.另外,在教学上还必须注意培养学生的书面表达能力,这些都 是逻辑思维训练的一部分.
在例4中的(1)中，易错解为y=25+0.2x.应让学生仔细审题,准等量关 系；(2)、(3)两问是给定自变量的值,求函数数值，这类问题的实质就是解方程.

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