八年级数学《正比例函数、一次函数和反比例函数》知识点
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1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
3、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x
点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x
点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x
点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x
4、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数
点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数
点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）
5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数
6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
7、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征
点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数
8、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y
（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x
（3）点P(x,y)到原点的距离等于2
2y x +
9、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
10、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
11、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，
这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
12、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
13、正比例函数：
解析式：y=kx(k为常数，k≠0) ,k叫做函数的比例系数;(注意：x的指数为1)
图像：过原点的直线;
必过点：（0,0）和（1，k）；
走向：k>o，图像过一、三象限，k<0，图像过二、四象限；
y
x
倾斜度：|k| 越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k| 越小，倾斜度越小，也就是越靠近x轴；如图：
x
一次函数与正比例函数概念增减性: k>0, y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；
14、一次函数：
解析式：y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，k叫做函数的比例系数,(注意：x的指数为1,b为直线与y轴交点的纵坐标) ；
正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0时的一种情况；
图像：一条直线；
必过点：（0，b）（-b/k，0）；
走向：k>o，b>0，图像过一、二、三象限，k>0,b<0，图像过一、三、四象限；
y
k<o ，b>0，图像过一、二、四象限              k<o ，b>0，图像过二、三、四象限
x
倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y 轴，|k|越小，倾斜度越小，也就是越靠近x
轴；如图：
x
增减性:k>0,y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 的增大而减小；
平移：y=kx+b，向上平移m 个单位：y=kx+b+m；向下平移n 个单位：y=kx+b-n;
向左平移m 个单位：y=k(x+m)+b；向右平移n 个单位：y=k(x-n)+b;
简称：上加下减，左加右减；（注：上加下减到代数式后面，左加右减到x 后面，直接与x 进行加减，与系数和指数都没关系）；
正比例函数和一次函数解析式的确定：
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。解这类问题的一般方法是待定系数法。
15、反比例函数：
解析式：一般地，函数x
k y =
（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
图像：双曲线。它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
所在象限：k>0图像经过一、三象限；k<0图像经过二、四象限。
y
x
增减性：k>0,y 随x 的增大而减小；k<0,y 随x 的增大而增大；
反比例函数解析式的确定：
确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数x
k y =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
16、反比例函数中反比例系数的几何意义
过反比例函数)0(≠=
k x
k y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•。 k S k xy x
k y ==∴=,,Θ。 练习：
1、函数1y =+      ，函数y =      （填“是”或者“不是”）一次函数。
2、当m  _    时，函数(4)(2)y m x m =-+-是一次函数。
3、直线12y x =-+
与y 轴的交点坐标为    ，直线324
y x =-+与x 轴的交点坐标为    。 4、直线2y x =+与坐标轴围成的三角形的面积为          。
5、已知一次函数2y x b =+，当15x y =-=-，，
这个函数的解析式为                。 6、已知直线2y mx =+经过点（-3，1），这个函数的解析式为                    。
7、已知一次函数(0)y kx b k =+≠，当15x y =-=-，；当203x y ==，，这个函数的解析式为                。
8、已经直线经过点（0，1），（1，
13），那么这条直线的表达式为                    。 9、已知直线y m =+经过第一、三、四象限，那么m 的取值范围为            。
10、已经直线y kx b =+与直线3342
y x =+没有交点，且经过点（-1，5），那么这条直线的表达式为          。
11、已知，直线y =2x +3与直线y =-2x -1.
（1）求两直线与y 轴交点A ，B 的坐标;
（2）求两直线交点C 的坐标;
（3）求△ABC 的面积.

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