⼋年级下册第⼗九章《⼀次函数》简介
⼋年级下册第⼗九章《⼀次函数》简介
课程教材研究所　⽥载今
⼀、教科书内容和课程学习⽬标
(⼀) 教科书内容
经全国中⼩学教材审定委员会2013年审查通过的⼈教版初中数学教科书的第⼗九章是“⼀次函数”，其主要内容包括：常量与变量的意义，函数的概念，函数的三种表⽰法，⼀次函数的概念、图象、性质和应⽤举例，⼀次函数与⼆元⼀次⽅程等内容的关系，以及以建⽴⼀次函数模型来选择最优⽅案为素材的课题学习.
全章包括三节：
19．1  变量与函数；
19．2  ⼀次函数；
19．3  课题学习：选择⽅案.
关于这三节的地位与作⽤有如下的整体设计.
19.1 节是全章的基础部分，内含2个⼩节. 19.1.1⼩节“变量与函数”结合简单的实际问题，对事物的运动变化进⾏数量化讨论，先引出常量和变量的意义，再从描述变量之间对应关系的⾓度刻画了⼀般函数的基本特征，从⽽初步建⽴函数的概念，并给出函数的解析式的意义. 19.1.2⼩节“函数的图象”在本章之前已有直⾓坐标系内容的基础上，以具体函数为例，介绍能形象化地表⽰函数的重要⼯具——函数的图象，并归纳表⽰函数的三种⽅法（解析式法、列表法和图象法），为今后继续研究各类具体的函数进⾏必要的准备.
19.2节是全章的重点内容，内含3个⼩节. 19.2.1⼩节“正⽐例函数”以⽕车运⾏中“路程=平均速度×时间”为问题情境，引出正⽐例函数的概念、图象和增减变化规律. 19.2.2⼩节“⼀次函数”以登⼭中⽓温随海拔⽽变化为问题情境，引出⼀次函数的概念，并对⽐正⽐例函数，研究⼀次函数的图象和增减变化规律. ⼀次函数是⼀种最基本的初等函数，对它的讨论中函数解析式与函数图象的相互联系与转化能发挥重要作⽤. 这是“数形结合”的思想⽅法的体现，它对今后进⼀步研究其他类型的函数具有启⽰作⽤. 19.2.3⼩节“⼀次函数与⽅程、不等式”从⼀次函数的⾓度，对⼀次⽅程和不等式进⾏再认识，揭⽰函数与以前学习的⽅程等内容之间的联系.
19.3节是全章的拓展提⾼部分，作为探究性学习的内容，它以课题学习的形式呈现，通过
对“怎样选取上⽹收费⽅式”和“怎样租车”两个典型问题的讨论，探求解决实际问题的最优⽅案，展⽰函数的应⽤价值，突出建⽴数学模型的思想⽅法和实际意义.
必须指出，函数是数学中极为重要的基本概念，它对数学的发展有重⼤影响，是数学学习中的重要知识点. 但是由于函数概念涉及运动变化，抽象性较强，所以初学者接受并理解它有⼀定难度，这也是本章的难点.
“变化与对应”的思想体现在函数概念之中，⽤运动变化的眼光，以函数为⼯具，把抽象的数量关系和直观的函数图象结合起来，从“数”与“形”两⽅⾯动态地分析问题，从⽽全⾯地认识函数，是本章学习的突出特点.
（⼆）本章知识结构框图
（三）课程学习⽬标
本章内容的设计与编写以下列⽬标为出发点：
1．以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“出常量和变量，建⽴并表⽰函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.
2．结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表⽰⽅法（列表法、解析式法和图象法），能结合图象数形结合地分析简单的函数关系.
3. 能确定简单实际问题中函数⾃变量的取值范围，并会求函数值.
4. 结合具体情境体会和理解正⽐例函数和⼀次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利⽤这些函数分析和解决简单实际问题.
5．通过讨论⼀次函数与⼆元⼀次⽅程等的关系，从运动变化的⾓度，⽤函数的观点加深对已经学习过的⽅程等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系.
6．进⾏探究性课题学习，以选择⽅案为问题情境，进⼀步体会建⽴数学模型的⽅法与作⽤，提⾼综合运⽤函数知识分析和解决实际问题的能⼒.
（四）课时安排
本章教学时间约需17课时，具体分配如下（仅供参考）：
19.1 变量与函数约6课时
19.2 ⼀次函数约6课时
19.3 课题学习选择⽅案约3课时
数学活动
⼩结约2课时
⼆、本章的编写特点
（⼀）反映函数概念的实际背景，渗透“变化与对应”的思想
在建⽴和运⽤函数这种数学模型的过程之中，“变化与对应”的思想是重要的基础，所谓变化与对应的思想包括两个基本意思：
1．世界是变化的，客观事物中存在⼤量的变量；
2．在同⼀个变化过程中，变量之间不是孤⽴的，⽽是相互联系的，⼀个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变量之间存在对应关系.
函数是数量化地表达变化与对应现象的数学⼯具，某些变化规律表现为变量之间满⾜单值对应的关系，函数就是通过数或形定量地描述这种对应关系的数学⼯具. “变化与对应”的观点蕴涵于本章内容中.
⼈的认识过程是波浪式前进、螺旋式上升的. 学习数学中的⼀个重要的基本概念，往往需要分阶段地完成，逐步深化认识程度. 本套教科书将对代数函数的学习分三章安排，即⼋年级下学期学习第⼗九章“⼀次函数”，九年级上学期学习第⼆⼗⼆章“⼆次函数”，九年级下学期学习第⼆⼗六章“反⽐例函数”. 在学习这些内容之前，教科书已分别安排了⼀次⽅程（组）、⼀元⼆次⽅程及分式⽅程等内容. 从教科书的整体框架上看，在“数与代数”分⽀中，运算类型的变化是重要的发展线索. 根据“⼀次”“⼆次”等代数式运算类型，将各种函数作为与其相关的⽅程的后续发展.⼀元⼀次⽅程、⼆元⼀次⽅程组和⼀元⼀次不等式等都是以⼀次（线性）运算为基础的数学模型，本章在学⽣对它们已有⼀定认识的基础上，继续讨论⼀次函数，从变化和对应的⾓度对⼀次运算进⾏更深⼊的讨论.
教科书在进⼊专门对⼀次函数的讨论之前，安排学⽣先了解函数的⼀般概念. 19.1节中，⾸先，从⼏个实际问题情境⼊⼿，引导学⽣通过填表和列式表⽰问题中相关的量，从中认识常量和变量的主要特征，学会区别它们. 接着，教科书通过“归纳”栏⽬总结出这些问题中变量之间关系的共同特点，即“问题中的两个变量互相联系，当其中⼀个变量取定⼀个值时，另⼀变量就有唯⼀确定的值与其对应.”教科书⼜继续⽤⼼电图、⼈⼝统计表等问题对这种变化与对应关系进⾏了补充和强化，这也为后⾯归纳多种函数表⽰法写下伏笔. 在此基础上，教科书第⼀次给出了函数的⼀般概念以及⾃变量、函数值等概念. 教科书中给出的函数定义是突出变化与对应的，其中主要有两层意思：
1．两个变量互相联系，⼀个变量变化时另⼀个变量也发⽣变化；
2．函数与⾃变量之间是单值对应关系，⾃变量的值确定后，函数的值是唯⼀确定的.
以上两点是关于函数的最基本、最朴素的刻画，也是教科书关于函数概念的论述中⼒求能使学⽣认识的重点内容.
（⼆）从特殊到⼀般地认识⼀次函数
一次函数与正比例函数概念
⼈们认识事物往往经历“从特殊到⼀般”的过程，教科书对本章重点内容的安排正是按照这样的过程展现的.
在对⼀般的函数概念初步讨论后，教科书转⼊对⼀种具体的初等函数的讨论，19.2节的标题“⼀次函数”点出了这⼀节的核⼼对象.这⼀节⾸先从讨论正⽐例函数开始，正⽐例函数是特殊的⼀次函数，即中的类型.对正⽐例函数的定义、图象和性质的讨论，可以为讨论⼀般的⼀次函数奠定基础.
在分析具体问题时，教科书注意了引导学⽣利⽤事物之间的联系从特殊到⼀般地认识问题，例如讨论⼀次函数的图象时，教科书先对⽐函数和在解析式上的区别，由此⾃然地引出对直线作平移变换可得到直线，这就确定了⼀次函数图象的形状. 在此基础上，教科书⼜讨论由两点确定直线的⼀般⽅法，并引出如何确定⼀次函数的解析表达式，得出关于⼀次函数的⼀般性结论. 纵观19.2.1节与19.2.2节的联系，可以发现教科书在此展⽰了解决问题的⼀种基本策略，即“先特殊化、简单化，再⼀般化、复杂化”的做法.
（三）⽤函数观点回顾与审视相关内容，加强知识体系的构建
在学习过程中，⼈们需要不断地提⾼认识问题的⽔平，这包括对过去已认识过的事物的再认识，也包括对新认识的事物与已认识的事物之间的联系的认识. 这种认识⽔平的提⾼，是构建知识体系的过程中不可缺少的.
本章19.2.3⼩节“⼀次函数与⽅程、不等式”，从函数的⾓度对前⾯学习过的⼆元⼀次⽅程组以及⼀元⼀次⽅程、⼀元⼀次不等式等重新进⾏了分析，这种再认识不是原来⽔平上的回顾复习，⽽是站在更⾼的起点上的动态分析. ⽤⼀次函数可以把上述⼏个数学对象统⼀认识，由此可见函数的重要性.“⽔涨船⾼”，随着知识积累的增加，认识事物的⽔平也会相应提⾼.“站得⾼看得远”，通过学习本节内容，不仅可以加深对⽅程（组）与不等式等数学对象的理解，⽽且可以加⼤对已经学过的相关内容之间的联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提⾼灵活地分析解决问题的能⼒. 这也从⼀个侧⾯反映了函数概念对相关内容的统率作⽤.
（四）注重联系实际问题，体现数学建模的作⽤
世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际⼜服务于客观实际.本章教科书中实际问题贯穿于始终，它们中有些是作为认识函数概念的实际背景，为降低学习抽象概念的难度服务的. 例如，在引⼊⼀般函数的概念时，教科书通过对⼀系列实际问题中变量间关系的分析与描述，
归纳出其中共有的⼀般规律，得出函数的定义. 这样的过程是由具体到抽象，由特殊到⼀般的过程，是以将实际问题抽象为数学模型为线索的展现过程. 有些实际问题是作为应⽤举例体现函数的⼴泛的应⽤性，为培养应⽤数学解决实际问题的意识和能⼒服务的. 例如，19.3节中的问题1问题2都是具有实际背景的选择最优⽅案的问题. 要解决这些问题，需要先确定问题中起关键作⽤的变量，再列出函数解析式，然后分析这些函数解析式或相应的图象，出问题中要考虑的最⼩（⼤）值. 在分析和解决问题的过程中，把这些实际问题中的数量关系⽤⼀次函数来表⽰，是解决问题的关键，⼀次函数作为数学模型发挥了重要作⽤. 通过对这些问题的探究，必然能对数学建模的作⽤产⽣新的认识.
本章的数学活动中，活动1为利⽤函数研究⼈⼝增长的内容，要求根据表格中的数据信息，建⽴函数模型，并由它对未来⼈⼝增长趋势进⾏预测估计. 活动2为利⽤函数研究漏⽔现象，要求通过实验收集数据，建⽴函数模型，并计算漏⽔量. 安排这些问题的⽬的在于：⼀⽅⾯通过实际⽣活中的问题，进⼀步突出函数这种数学模型应⽤的⼴泛性和有效性；另⼀⽅⾯使学⽣能在解决实际问题的情境中灵活运⽤所学数学知识，进⼀步提⾼分析问题和解决问题的综合能⼒. 本章在学⽣已有的建⽴⽅程或不等式这样的数学模型的基础上，继续重视数学与实际的关系，在建⽴函数这种应⽤更⼴泛的数学模型的过程中继续体现建模思想.
此外，教科书对于数学与其他科学技术的联系也予以关注. 例如，“阅读与思考：科学家如何测算岩⽯的年龄”中，介绍了放射性物质蜕变过程中函数变化曲线对确定半衰期的作⽤等. 编者希望学⽣通过学习本
章不仅进⼀步学习数学，⽽且也能扩⼤对相关科技知识的了解.
三、⼏个值得关注的问题

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。