初二数学第18章 函数及其图象小结与复习
一. 教学内容：
第18章 函数及其图象小结与复习
二. 重点、难点：
  1. 重点：
（1）变量与常量、变量与函数、直角坐标系、函数图象的概念；
（2）一次函数与反比例函数的自变量的取值范围；
（3）一次函数与反比例函数的概念、图象和性质；
（4）待定系数法确定一次函数与反比例函数的解析式．
  2. 难点：
（1）能写出实际问题中一次函数关系与反比例函数关系的解析式及自变量的取值范围，并能应用它们解决简单的实际问题；
（2）运用数形结合的方法，深刻理解和掌握函数的性质，学会用数学建模的方法与技巧．
三. 知识梳理：
（一）本章知识框架图：
（二）本章知识回顾：
1. 平面直角坐标系
  （1）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴构成了平面直角坐标系．
（2）点的坐标：坐标平面内一对有序实数（x，y）所对应的点叫做这个点的坐标，其中x叫做横坐标，y叫做纵坐标．
点的坐标特征；各象限点；关于坐标轴对称的点等等．
  （3）数轴上的点与实数构成一一对应关系，于是坐标平面上的点与实数对P（ｘ，ｙ）构成一一对应的关系．
2. 函数
（1）函数的概念，设在一个变化范围内有两个变量ｘ﹑ｙ，如果对于ｘ的每一个值变量ｙ都有惟一确定的值与之对应，那么我们就说ｘ是函数ｙ中的自变量，ｙ是自变量ｘ的函数，其中ｘ的变化范围称自变量的取值范围（也称定义域）﹑函数ｙ的变化范围称为在自变量ｘ的变化条件下的函数ｙ的值（也称值域）．
（2）函数的表示法有三种，即图像法，列表法和解析式法．
3. 一次函数和正比例函数
  一次函数和正比例函数的定义：如果，那么叫做的一次函数；当时，，则叫做的正比例函数．
  （1）一次函数的作图方法，一次函数的图象是一条直线，因为两点确定一条直线，所以我们通常在平面直角坐标系中，描出适合函数的两点，然后过这两点画一条直线，所得的图形就是一次函数的图象．
  （2）求一次函数的解析式
  通常有方程建模法和待定系数法两种．方程建模法：就是说根据条件里所有的相等关系，建立含有变量和的模型（方程）．然后化为一般形式．
待定系数法：设为一次函数模型，两个适合函数的点的坐标代入得方程组，求解系数和．
  （3）一次函数的图象和性质
  当k≠0时一次项系数k、常数项b的变化与函数图像的一般规律如下表．
（4）函数与方程及不等式的联系
函数反映的是整个变化过程中两个变量之间的关系，方程是某一时刻两个变量之间的关系，而不等式则是某一时段两个变量之间的关系
4. 反比例函数
  （1）反比例函数的概念：形如的函数叫做反比例函数，自变量的取值范围是．
（2）反比例函数的图象是双曲线．
  （3）反比例函数的性质：①当＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；②当＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大．
【典型例题】
  例1. （1）（2006年益阳市）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（－2，1）、B（－3，－1）、C（1，－1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是________．
    （2）（2006年德州市）将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90°到点B，则点B的坐标是__________．
    分析：了解平面直角坐标系的意义，会判断点的位置或求点的坐标．利用数形结合的方法，直观求解．
解：（1）D（2，1）； （2）B（1，－3）．
例2. （2006年怀化市）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考你，图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．”
                        （1）                  （2）
分析：会根据图象获取信息，进行判断．结合已知条件和图象，先求出小明休息前的工作时间和小丽的工作效率，是解决问题的关键．
解：小丽现在加工了20千克．
例3. （2006年贵阳市）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（    ）
分析：了解函数的表示方法，理解函数图象的意义．本例主要考查识图能力，对于函数图象信息题，要充分挖掘图象所含信息，通过读图、想图、析图出解题的突破口．另外，函数图象信息通常是以其他学科为背景的，因此熟悉相关学科的有关知识对解题很有帮助．
解：选C．
例4. 若一次函数y＝2x＋m－1的图象经过第一、二、三象限，求m的值．
分析：理解一次函数的概念和性质，这是一道一次函数概念和性质的综合题．一次函数的一般式为y＝kx＋b（k≠0）．首先要考虑|m－2|＝1．函数图象经过第一、二、三象限的条件是k＞0，b＞0，而k＝2，只需考虑m－1＞0．由便可求出m的值．
解：根据已知条件可得：，由|m－2|＝1得m＝3或m＝1，再由m－1＞0得m＞1，
所以m的值为3．
例5. （2006年济宁市）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：
鞋长
16
19
24
27
鞋码
22
28
38
44
（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？
    （2）设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；
    （3）如果你需要的鞋长为26cm，那么应该买多大码的鞋？
分析：用待定系数法确定一次函数表达式及其应用．本题是以生活实际为背景的考题．题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间．
解：（1）通过描点，观察这些点呈什么形状，从而判断“鞋码”与“鞋长”之间是一次函数关系；
（2）设y＝kx＋b，则由题意，得 ，
∴y＝2x－10；
（3）当x一次函数与正比例函数概念＝26时，y＝2×26－10＝42．答：应该买42码的鞋．
例6. （2006年南京市）某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．
    （1）分别求出x≤40和x≥40时y与x之间的关系式；
如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？
分析：建立函数模型解决实际问题．本题提供了一个与生产实践密切联系的问题情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型．建立函数关系．为学生解决实际问题留下了思维空间．
解：（1）当x≤40时，设y＝kx＋b．
根据题意，得，
∴当x≤40时，y与x之间的关系式是y＝50x＋1500；
∴当x＝40时，y＝50×40＋1500＝3500．
当x≥40时，根据题意得，y＝100（x－40）＋3500，即y＝100x－500．
∴当x≥40时，y与x之间的关系式是y＝100x－500．
（2）当y≥4000时，由y与x之间的关系式y＝100x－500，得
不等式100x－500≥4000，解之，得x≥45，
∴应从第45天开始进行人工灌溉．
例7. 若函数y＝（m2－1）x为反比例函数，则m＝________．
分析：理解反比例函数的意义．在反比例函数y＝中，其解析式也可以写为y＝k·x－1，故需满足两点，一是m2－1≠0，二是|m－3|－3＝－1．
解：m＝5．
【点评】函数y＝为反比例函数，需满足k≠0，且x的指数是－1，两者缺一不可．
例8. （2006年常德市）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（  ）
    A. y3＜y2＜y1    B. y1＜y2＜y3    C. y2＜y1＜y3    D. y2＜y3＜y1
分析：会灵活运用反比例函数图象和性质解题．本题解法一是根据反比例函数的性质分析，一是用特殊值法，另一种方法是画草图．
解：选C．
例9. （2006年烟台市）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（－2，1），B（1，n）两点．
    （1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
分析：（1）求反比例函数解析式需要求出m的值．把A（－2，1）代入y＝中便可求出m＝－2．把B（1，n）代入y＝中得n＝－2．由待定系数法不难求出一次函数解析式．（2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出x的取值范围．
解：（1）根据题意，将（－2，1）代入y＝，得m＝－2，
即反比例函数的解析式为y＝．
再将（1，n）代入y＝，得n＝－2．
把A（－2，1），B（1，－2）代入y＝kx＋b，得，解之得．
所以一次函数的解析式为y＝－x－1．
（2）观察图象，可知使一次函数的值大于反比例函数的值的取值范围是：x＜－2或0＜x＜1．
例10. （1）（2006年陕西省）直线y＝kx＋b（k≠0）的图象如图1，则方程kx＋b＝0的解为x＝____，不等式kx＋b＜0的解集为x_______．
         
（1）                    （2）
（2）（2006年重庆市）如图2，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象，则方程组的解为_______．
分析：利用一次函数图象求方程（组）及不等式（组）的解．抓住直线与x的交点就可迎刃而解．两直线的交点坐标即为方程组的解．
解：（1）x＝－2； 不等式的解集为：x＞－2．
（2）方程组的解是：
【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一. 选择题：
1. 一次函数y＝－3x＋4的图象一定不经过的象限是  （  ）

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