第六章　反比例函数
1.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.
2.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.
3.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
4.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求出函数值.
5.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
6.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.
7.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
8.能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式y=(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图象的变化情况.
9.能使用反比例函数解决简单实际问题.
1.经历从具体问题情境中抽象出反比例函数概念的过程,进一步感受函数的模型思想.
2.探索反比例函数的性质,体会研究函数的一般性方法.
1.在反比例函数学习的过程中,进一步发展勇于探索与合作交流的精神.
2.根据图象和表达式理解反比例函数的性质,体会数形结合的思想和分类的思想.
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念,是研究现实世界变化规律的重要数学模型,学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间关系”和“一次函数”等内容,对函数已经有了初步的认识,在此基础上讨论反比例函数及其性质,可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验,这对后续学习会产生积极影响.
本章通过具体情境的分析,概括出反比例函数的表达式,明确反比例函数的概念,通过例题和学生列举的实例可以丰富对反比例函数的认识,理解反比例函数的意义.结合实例经历列表、描点、连线等活动,理解函数的三种表示方法,逐步明确研究函数的一般要求,反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象,为学生探索反比例函数的一般形式,反比例函数的性质提供了思维活动的空间,通过对反比例函数y=(k>0和k<0)图象的全面观察和比较,发现反比例函数自身的规律,结合语言表述,在相互交流中发展从图象中获取信息的能力,同时可以使学生更牢固地掌握反比例函数的性质.
本章最后讨论了反比例函数的某些应用,包括在实际中的应用和在数学内部的应用.在这些数学活动中,注意用函数观点来处理问题或对问题的解决用函数做出某种解释,用以加深对函数的认识,并突出知识之间的内在联系.
【重点】　反比例函数图象及其性质;利用反比例函数解决简单的生活问题.
【难点】　根据具体情况对变量的情况进行讨论.
1.注重反比例函数概念的形成过程和对概念意义的理解.在反比例函数概念形成的过程中,应充分利用学生已有的生活经验和背景知识,创设丰富的现实情境,引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律,并逐步加深理解,教学中要提供直观背景,其主要作用是:①展现产生反比例函数的现实原型,提供可概括性材料,引导学生主动参与并感受数学概念的形成过程;②在获得反比例函数概念之后,现实原型将成为概念的某种直观解释或实际意义,通过举例、说理、讨论等活动,力求使学生体验如何用数学的眼光来审视某些实际现象,思考其数学意义.
2.要注意和函数的有关知识的衔接,与一次函数进行类比,掌握函数的三种表示法,深化对函数概念的理解.反比例函数概念的形成,是从感性认识到理性认识转化的过程,概念一旦建立后,即已摆脱其原型成为数学对象(有经验支撑的数学知识).要通过对函数图象的观察和分析,掌握反
比例函数的主要性质,体验“用数学眼光来研究某些数学现象”,深化函数模型思想,进一步发展我们的抽象思维能力.另外,反比例函数y=(k≠0)具有丰富的数学含义,应转向对其数学意义的理解,从而可以进行更深层次的研究.
1　反比例函数
1课时
2　反比例函数的图象与性质
2课时
3　反比例函数的应用
1课时
1　反比例函数
经历抽象反比例函数概念的过程,体会反比例函数的含义,理解反比例函数的概念.
从现实情境和已有知识经验出发,经历抽象反比例函数的过程,让学生建立初步的符号感,发展学生的抽象思维能力.
1.通过创设情境,让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程,养成用数学思维方式解决实际问题的习惯.
2.在小组讨论中充分体会合作交流的重要性,培养合作意识,提高合作技能.
【重点】　反比例函数的概念及应用.
【难点】　根据已知条件确定反比例函数的表达式.
【教师准备】　求函数值的统计表.
【学生准备】　复习函数的相关知识.
导入一:
我们知道,导体中的电流I,与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR,当U=220 V时,
(1)你能用含有R的代数式表示I吗?
(2)利用写出的关系式完成下表:
R/Ω
20
40
60
80
100
I/A
  当R越来越大时,I怎样变化?当R越来越小呢?
(3)变量I是R的函数吗?为什么?
[设计意图]　从学生身边的生活和已有知识出发,创设情境,目的是让学生感受到生活当中处处有数学,激发学生对学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象反比例函数概念做铺垫.
导入二:
我们在前面学过一次函数和正比例函数,知道一次函数的表达式为y=kx+b,其中k,b为常数且k≠0,正比例函数的表达式为y=kx,其中k为不为零的常数,但是在现实生活中,并不是只有这两种类型的函数.这就是本节课我们要揭开的奥秘.
1.复习旧知
在某变化过程中有两个变量x,y,若给定其中一个变量x的值,y都有唯一确定的值与它相对应,则称y是x的函数.
例如购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与铅笔数n(支)的关系式是y=0.4n,这是一个正比例函数.等腰三角形的顶角的度数y度与底角的度数x度的关系为y=180-2x,y是x的一次函数.
2.问题探索
问题1
【课件1】　导入一中的电流、电阻、电压之间是否存在函数关系?
解:(1)I=.
(2)从左到右依次填:11,5.5,3.67,2.75,2.2.
利用表格数据提供的信息,并参照对关系式的分析,可以得出当电阻R越来越大时,电流I越来越小;当R越来越小时,I越来越大.
(3)当给定一个R的值时,相应地确定了一个I值,因此I是R的函数.
[知识拓展]　舞台灯光可以在很短时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天,或由黑夜变
成白昼,这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.因为当电流I较小时,灯光较暗;反之,当电流I较大时,灯光较亮.
问题2
【课件2】　京沪高速铁路全长约为1318 km,列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京,列车行完全程所需要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?
【师生活动】　先让学生进行小组合作交流,再在全班范围内进行问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看成函数,了解所讨论的函数的表示形式.
【归纳规律】　上述实例所列出的等式,它们是函数吗?是正比例函数,还是一次函数?如果不是一次函数,你能总结自变量和因变量之间的函数关系吗?
一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.从y=(k≠0)中可知x作为分母,所以x不能为零.
[设计意图]　让学生自己举例、总结规律、抽象概念,便于学生理解和掌握反比例函数的概念,同时培养和提高学生的总结归纳能力和抽象思维能力.
【做一做】
1.一个矩形的面积为20 cm2,相邻的两条边长为x cm和y cm,那么变量y是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
2.某村有耕地346.2 hm2,人口数量n逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m(hm2/人)是全村人口数n的函数吗?为什么?
3.y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值:
x
-2
-1
-
1
3
y
2
-1
  (1)写出这个反比例函数的表达式;
(2)根据函数表达式完成上表.
[设计意图]　这一过程目的是强化学生对反比例函数概念的理解,体会反比例函数的实际意义,并且让学生感受自己探索发现的知识与实际生活有着密切的联系并能解决实际问题,从而获得学习的成就感,激发学生的学习兴趣.
[知识拓展]　(1)反比例函数的一般式:y一次函数与正比例函数概念=(k为常数,k≠0).反比例函数的变形式:①y=kx-1(x的指数为-1,k为常数,k≠0);②xy=k(k为常数,k≠0).
(2)取值范围:①比例系数k≠0;②自变量x是一切非0实数;③函数值y也是一切非0实数.

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