【例题·计算题】续采用之前例题中的数据，把6个月的时间分为两期，每期3个月。变动以后的数据如下：ABC公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元，每期股价有两种可能：上升22.56%或下降18.4%；无风险利率为每3个月1%。
为了直观地显示有关数量的关系，仍然使用二叉树图形。二期二叉树的一般形式如图所示。
 
我们解决问题的办法是：先利用单期定价模型，根据Cuu和Cud计算节点Cu的价值，利用Cud和Cdd计算Cd的价值；然后，再次利用单期定价模型，根据Cu和Cd计算C0的价值。从后向前推进。
计算Cu的价值，我们现在已经有两种办法：
（1）复制组合定价：
H=（23.02-0）÷（75.10-50）=0.91713
借款=（50×0.91713）÷1.01=45.855÷1.01=45.40（元）
组合收入的计算如表所示。
            投资组合收入              单位：元
股票价格
6个月后股价=75.10
6个月后股价=50
二叉树公式组合中股票到期日收入
75.10×0.91713=68.88
50×0.91713=45.86
组合中借款本利和偿还
-45.86
-45.86
组合的收入合计
23.02
0
 
3个月后股票上行的价格是61.28元。
Cu=投资成本=购买股票支出-借款=61.28×0.91713-45.40=10.80（元）
由于Cud和Cdd的值均为零，所以Cd的值也为零。
（2）风险中性定价：
期望回报率=1%=上行概率×22.56%+下行概率×（-18.4%）
1%=上行概率×22.56%+（1-上行概率）×（-18.4%）
上行概率=0.47363
期权价值6个月后的期望值=0.47363×23.02+（1-0.47363）×0=10.9030（元）
Cu=10.9030÷1.01=10.80（元）
下面根据Cu和Cd计算C0的价值：
（1）复制组合定价：
H=期权价值变化÷股价变化=（10.80-0）÷（61.28-40.80）=10.80÷20.48=0.5273
借款=（40.80×0.5273）÷1.01=21.3008（元）
组合收入的计算如表所示。
                投资组合的收入             单位：元
股票价格
3个月后股价=61.28
3个月后股价=40.80
组合中股票到期日收入
61.28×0.5273=32.31
40.80×0.5273=21.51
组合中借款本利和偿还
21.30×1.01=21.51
21.51
收入合计
10.80
0
 
C0=投资成本=购买股票支出-借款=50×0.5273-21.3008=5.06（元）
（2）风险中性定价：
C0=0.47363×10.80÷1.01=5.06（元）
两期二叉树模型的公式推导过程如下：
设：
Cuu=标的资产两个时期都上升的期权价值
Cdd=标的资产两个时期都下降的期权价值
Cud=标的资产一个时期上升、另一个时期下降的期权价值
其他参数使用的字母与单期定价模型相同。
利用单期定价模型，计算Cu和Cd：
Cu=（1+r-d）/（u-d）×［Cuu/(1+r)］+(u-1-r)/（u-d）×［Cud/（1+r）］
Cd=（1+r-d）/（u-d）×［Cud/（1+r）］+(u-1-r)/（u-d）×［Cdd/（1+r）］
计算出Cu和Cd后，再根据单期定价模型计算出C0。
根据公式计算中的期权价值：
Cu==0.47363×22.7921=10.80（元）
Cd=0（元）
C0=0.47363×=5.06（元）
【手写板】
套期保值原理
风险中性原理
（1）第2期（后3个月）
①H2=（Cuu-Cud）/（Suu-Sud）
②Y2=（Sud×H2）/(1+rf)
③Cu=Su×H2-Y2
（2）第1期（前3个月）
①H1=（Cu-Cd）/（Su-Sd）
②Y1=（Sd×H1）/(1+rf)
③C0=S0×H1-Y1
（1）第2期（后3个月）
①W=（1+rf-d）/（u-d）
②=W×Cuu＋（1-W）×Cud
③Cu=/(1+rf)
（2）第1期（前3个月）
①W=√
②=W×Cu＋（1-W）×Cd
③C0=/(1+rf)
 
☆经典题解
【例题·单选题】某公司股票目前的市价为40元，有1份以该股票为标的资产的欧式看涨期权（1份期权包含1股标的股票），执行价格为42元，到期时间为6个月。6个月以后股价有两种可能：上升20%或者下降25%，则套期保值比率为（  ）。
A.0.33
B.0.26
C.0.42
D.0.28
【答案】A
【解析】上行股价=40×（1+20%）=48（元），下行股价=40×（1-25%）=30（元）；股价
上行时期权到期日价值=48-42=6（元），股价下行时期权到期日价值=0；套期保值比率=（6-0）/（48-30）=0.33。
【例题·计算题】甲公司股票当前每股市价40元，6个月以后股价有两种可能：上升25%或下降20%，市场上有两种以该股票为标的资产的期权：看涨期权和看跌期权。每份看涨期权可买入1股股票，每份看跌期权可卖出1股股票，两种期权执行价格均为45元，到期时间均为6个月，期权到期前，甲公司不派发现金股利，半年无风险报酬率为2%。
要求：
（1）利用风险中性原理，计算看涨期权的股价上行时到期日价值、上行概率及期权价值，利用看涨期权—看跌期权平价定理，计算看跌期权的期权价值。
（2）假设目前市场上每份看涨期权价格2.5元，每份看跌期权价格6.5元，投资者同时卖出1份看涨期权和1份看跌期权，计算确保该组合不亏损的股票价格区间，如果6个月后，标的股票价格实际上涨20%，计算该组合的净损益。（注：计算股票价格区间和组合净损益时，均不考虑期权价格的货币时间价值）（2015年）
【答案】（1）看涨期权的股价上行时到期日价值=40×（1+25%）-45=5（元）
2%=上行概率×25%+（1-上行概率）×（-20%）
即：2%=上行概率×25%-20%+上行概率×20%
则：上行概率=0.4889
由于股价下行时到期日价值=0
所以，看涨期权价值=（5×0.4889+0.5111×0）/（1+2%）=2.4（元）
看跌期权价值=45/（1+2%）+2.4-40=6.52（元）
（2）当股价大于执行价格时：
组合净损益=-（股票市价-45）+（2.5+6.5）
根据组合净损益=0，可知，股票市价=54（元）
当股价小于执行价格时：
组合净损益=-（45-股票市价）+9
根据组合净损益=0，可知，股票市价=36（元）
所以，确保该组合不亏损的股票价格区间为36～54元。
如果6个月后的标的股票价格实际上涨20%,即股票价格为40×（1+20%）=48（元），则：
组合净损益=-（48-45）+9=6（元）。
考点九　二叉树期权定价模型
内容
要点阐释
二叉树期权定价模型的假设
（1）市场投资没有交易成本；
（2）投资者都是价格的接受者；
（3）允许完全使用卖空所得款项；
（4）允许以无风险利率借入或贷出款项；
（5）未来股票的价格将是两种可能值中的一个
单期二叉树期权定价模型
根据上表中关于风险中性原理的有关公式，
期权的现值C0=［W1×Cu+（1-W1）×Cd］÷（1+r）
={（1+r-d）/（u-d）×Cu+[1-（1+r-d）/（u-d）]×Cd}÷（1+r）
=（1+r-d）/（u-d）×Cu/（1+r）+（u-1-r）/（u-d）×Cd/（1+r）
两期二叉树期权定价模型
Cu=（1+r-d）/（u-d）×Cuu/（1+r）+（u-1-r）/（u-d）×Cud/（1+r）
Cd=（1+r-d）/（u-d）×Cud/（1+r）+（u-1-r）/（u-d）×Cdd/（1+r）
C0=（1+r-d）/（u-d）×Cu/（1+r）+（u-1-r）/（u-d）×Cd/（1+r）
多期二叉树期权定价模型
u=1+上升百分比=
=1/u
其中：e是自然常数≈2.7183
是标的资产连续复利报酬率的标准差
t是以年表示的时间长度
 

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。