第三节  Black-Scholes期权定价模型
一  与期权定价有关的基本假设:
（一）.关于金融市场的基本假设
假设一:市场不存在摩擦.这就是说金融市场没有交易成本(包括佣金费用,买卖价差,税赋,市场冲击等),二叉树公式没有保证金要求,也没有买空的限制.提出市场无摩擦的假设在于简化金融资产定价的分析过程,其主要理由有以下两点:第一,对于大的金融机构来说,这一假设是一个较好的近似,因为他们的交易成本很低,他们在保证金要求和卖空方面受的约束很少,他们能够以买卖差的中间价进行交易等.由于金融机构是市场价格的制定者,所以从描述性角度出发,上述假设是一个较为现实的假设.第二,对于小的市场参与者来说,他们首先需要了解的是无摩擦条件下金融市场将如何运作.在此基础上,才能对复杂场合下的市场规律进行进一步深入分析.因此,从规范性角度出发,上述假设也是绝对必要的.
假设二:市场参与者不承担对家风险.这就是说,对于市场参与者所涉及的任何一个金融合同交易,合同对家不存在违约的可能.
假设三:市场是完全竞争的这就是说,金融市场上任何一位参与者都是价格的承受者,而不是价格的制定者.此假设被现代财务金融学普遍采纳,相当于一条标准的公理.任何参与者都可以根据自己的愿望买入和卖出任何数量的证券,而不至于影响该证券的市场价格.显然市场规模越大,竞争性市场假设就越接近于现实.
假设四:市场参与者厌恶风险,而且希望财富越多越好.
假设五:市场不存在套利机会.如果市场上存在套利的机会,价格会迅速准确的进行调整,使得这种套利机会很快消失. 
（二）.关于股利的假设
股利是影响期权价值的一个重要因素.不过,在研究期权定价问题时,股利是一个广义概念.首先,这一概念包含了通常意义上的股利,即发行标的股票公司向其股东定期支付的现金股利,我们称之为离散股利对于标的资产为股票的合同其大小一般用D表示.一般来说,离散股利的支付发生在期权有效期内某些特定的时刻,它们往往是可以预先知道的.例如,公司将在每个季度末或每隔半年发放一定的股利.另一方面,对于标的资产为货币,股票指数,期货等的非股票期权来讲,
所谓的的股利是指标的资产所有者在一段时间内,按一定的收益率所得到的报酬,如利息收入,因此它是一种连续的支付,我们称之为连续股利,其大小通常用股利支付率
二  模型假设与概述
（一）模型假设
Black和Scholes在推导B-S模型时做了以下假设:
(1)无风险利率已知,且为一个常数,不随时间变化.
(2)标的资产为股票,其价格的变化为一几何布朗运动,即
           
或者说,服从正态分布
      ……… 由(18)式容易得到
其中为标准正态分布N(0,1),且不同时刻的相互独立.
(3)标的股票不支付股利.
(4)期权为欧式期权
(5)对于股票市场,期权市场和资金借贷市场来说,不存在交易费用,且没有印花税.
(6)投资者可以自由借入或贷出资金,借入利率与贷出的利率相等,均为无风险利率.而且,所有证券交易可以无限制细分,即投资者可以购买任意数量的标的股票.
(7)对卖空没有任何限制(如不设保证金),卖空所得资金可由投资者自由使用.
（二）模型的概述
在上述假设下,若记为定价日标的股票的价格,为看涨期权合同的执行价格,是按连续复利计算的无风险利率,为到期日,为当前定价日,是定价日距到期日的时间(单位为年),是标的股票价格的波动率,则可得到B-S模型如下:
(1) 在定价日(),欧式看涨期权的价值为
        …………………….(22)
式中:
……….(23)
    ………………………………………(24)
而是标准正态变量的累积分布函数,即
     
其中服从.
(2) 由看涨期权-看跌期权平价公式:,且注意到的性质
              +,
欧式看跌期权在定价日的价值为
          ……………..(25)
三  模型的推导与推广
（一） Black和Scholes的推导
假设期权当前时刻的价值为,显然是标的股票当前市场价格的函数. Black和Scholes首先构造了如下套期组合:即在当前时刻,以买入标的股票股,同时以卖空一份期权.显然,该组合的构造成本.当时间变化一个微小区间(即从到),可近似看成是一个常数,则该组合价值的变动为:
          …………………………(26)
注意到,由B-S模型的假设
     
又由伊藤引理(11)式,期权价值作为的函数,应满足以下公式
     
将上述两式代入(26)式得
      ………………………(27)
在(27)式中随机项已经不存在,这说明在这段时间上,该套期组合价值的变动是确定的,不存在风险.因此,根据无套利定价原则,不考虑交易成本等因素,在该时间段组合的收益应当是无风险利率,即
…………………(28)
将(27),(28)结合化简得:
      ………………(29)
此式就是著名的B-S微分方程,它构成的包括期权在内的任何一种衍生工定价模型的基础.这就是说,B-S方程可以用于任何一种衍生工具的定价,只要该衍生工具的标的资产价格变化服从几何布朗运动.对于不同类型的衍生工具来说,其价值有不同的边界条件.给定这些特定的边界条件,就可以通过求解上述偏微分方程,得到该衍生工具的定价模型.
    对于欧式看涨期权来说,其价值在到期日的边界条件为:
             
    而对于欧式看跌期权来说,其价值
根据上述边界条件,Black和Scholes得到了B-S方程的解,它们就是B-S期权定价模型。
（二）Black-scholes期权定价公式的拓展
（1）无收益资产的欧式看跌期权的定价公式
Black-Scholes期权定价模型给出的是无收益资产的欧式看涨期权的定价公式根据欧式看涨期权和看跌期权之间的评价关系，可以得到无收益资产的欧式看跌期权的定价公式：
………………….（30）
（2）无收益资产的美式期权的定价公式
  在标的资产无收益的情况下，由于，所以式（22）也给出了无收益资产的美式看涨期权的价值。
  美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有一个精确的解析公式，但可以用数值的方法以及解析近似方法求出。
（3）有收益资产的期权的定价公式
到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。那么，对于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？实际上，如果收益可以准确的预测到，或者说是已知的，那么有收益资产的欧式期权定价并不复杂。
在收益已知的情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金手一点现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用表示有风险部分的证券价格，表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可以直接套用公式（22）和（30）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当标的证券已知收益的现值为时，我们只要用（）代替式（22）和式（30）中的即可求出固定收益证券欧式看涨期权和看跌期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率（单位：年）时，我们只要将代替式（22）和式（30）中的就可以求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨期权和看跌期权的价格，在各种期权中，股票指数期权，外汇期权，和期货期权的标的资产可以看做是支付连续红利率的，因而它们适用于这一定价公式。
另外对于有收益资产的美式期权，由于有提前执行的可能，我们无法得到精确的解析解，仍然需要用数值方法以及解析近似方法求出。
（三）Black-Scholes期权定价公式的计算
    （1）Black-Scholes期权定价模型的参数
我们已经知道，Black-Scholes期权定价模型中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值，但是无风险利率和标的资产
价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。
1 估计无风险利率
在发达的金融市场上，很容易获得无风险利率的估计值，但是在实际应用的时候仍然需要注意几个问题。首先，我们需要选择正确的利率。一般来说，在美国，人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值。美国国库券所报出的利率通常为贴现率（即利率占票面价值的比例），因此需要转化为通常的利率，并且用连续复利的方式表达出来，才可以在Black-Scholes公式中应用。其次，要小心的选择国库券的到期日。如果利率期限结构曲线倾斜严重，那么不同的到期日的收益率很可能相差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的那个国库券的利率作为无风险利率。
我们用一个例子来说明无风险利率的计算。假设一个还有84天到期的国库券，其买入报价为8.83，卖出报价为8.77。由于短期国库券市场报价为贴现率，我们可以推算出其中间报价对应的现金价格（面值为100美元）为：
＝100-[（8.83＋8.77）/2]*(84/360)=97.947(美元)
进一步应用连续复利利率的计算公式得到相应的利率：
100/100/97.947
2 估计标的资产价格的波动率
估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难的多，也更为重要。正如第十章所述，估计标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率。
1. 历史波动率。所谓历史波动率，就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。以股票的价格为例，表(1)列出了计算股票价格波动率的一个简单说明。很显然，计算波动率的时候，我们运用了统计学中计算样本均值和标准差的简单方法。其中，为股票价格百分比收益率， (或者)则为连续复利收益率（估计方差），就是相应的（估计）标准差（波动率），即Black-Scholes公式计算时所用的参数。在表(1)中，共有11天的收盘价信息，因此得到10个收益率信息。
=
表(1)                  历史波动率计算 
天数
0
100.00
1
101.50
1.0150
0.0149
0.000154
2
98.00
0.9655
-0.0351
0.001410
3
96.75
0.9872
-0.0128
0.000234
4
100.50
1.0388
0.0380
0.001264
5
101.00
1.0050
0.0050
0.000006
6
103.25
1.0223
0.0220
0.000382
7
105.00
1.0169
0.0168
0.000205
8
102.75
0.9786
-0.0217
0.000582
9
103.00
1.0024
0.0024
0.000000
10
102.50
0.9951
-0.0049
0.000053
总计
0.0247
0.004294
样本均值=0.0247/10=0.00247
样本方差=0.004294/9=0.000477
样本标准差=0.021843
在Black-Scholes公式所用的参数中，有三个参数与时间有关：到期期限、无风险利率和波动率。值得注意的是，这三个参数的时间单位必须相同，或者同为天、周、或者同为年。年是经常被用到的时间单位，因此我们常常需要将天波动率转化成年波动率。在考虑年波动率时，有一个问题需要加以重视：一年的天数究竟按照日历天数还是按照交易天数计算。一般认为，证券价格的波动主要来自交易日。因此，在转换年波动率时，应该按照一年252个交易日进行计算。这样，表(1)中的天波动率相应的年波动率

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