二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态： (1)空二叉树——(a)； (2)只有一个根结点的二叉树——(b)； (3)右子树为空的二叉树——(c)； (4)左子树为空的二叉树——(d)； (5)完全二叉树——(e)注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
简介
  在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的有序树。通常子树的根被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用作二叉查树和二叉堆。二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2的（i-1）次方个结点；深度为k的二叉树至多有2^(k) -1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数(即叶子结点数)为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。
  树和二叉树的2个主要差别：
  1. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；
  2. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。……
  树是一种重要的非线性数据结构，直观地看，它是数据元素（在树中称为结点）按分支关系组织起来的结构，很象自然界中的树那样。树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构都
可用树形象表示。树在计算机领域中也得到广泛应用，如在编译源程序时，可用树表示源程序的语法结构。又如在数据库系统中，树型结构也是信息的重要组织形式之一。一切具有层次关系的问题都可用树来描述。
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树的概述
  树结构的特点是：它的每一个结点都可以有不止一个直接后继，除根结点外的所有结点都有且只有一个直接前驱。以下具体地给出树的定义及树的数据结构表示。
树的定义
  树是由一个或多个结点组成的有限集合，其中：
  ⒈必有一个特定的称为根(ROOT)的结点；
  ⒉剩下的结点被分成ｎ>=0个互不相交的集合T1、T2、......Tn，而且， 这些集合的每一个又都是树。树T1、T2、......Tn被称作根的子树(Subtree)。
  树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树
  1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3；树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。除根结点外的分枝结点统称为内部结点。
  2.树的深度——组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为3；
  3.森林——指若干棵互不相
交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；
  4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。
树的表示先序中序后序遍历二叉树
  树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。如上图可写成如下形式：
  (A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))
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二叉树
1.二叉树的基本形态
  二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：
  (1)空二叉树——(a)； 
(2)只有一个根结点的二叉树——(b)；
  (3)只有左子树——(c)；
  (4)只有右子树——(d)；
  (5)完全二叉树——(e)
  注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
2.两个重要的概念
  (1)完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的节点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。　
  (2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶结点都处在最底层的二叉树,。
3.二叉树的性质
  (1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；
  (2) 深度为h的二叉树最多有(2^h)-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；
  (3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，
  则N0=N2+1；
  (4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1
  (5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：
  若I为结点编号则 如果I<>1，则其父结点的编号为I/2；
  如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；
  如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
  (6)给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。
  h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。
4.二叉树的存储结构
  (1）顺序存储方式
  type node=record
  data:datatype
  l,r:integer;
  end;
  var tr:] of node;
  (2)链表存储方式，如：
  type btree=^node；
  node=record
  data:datatye;
  lchild,rchild:btree;
  end;
5.普通树转换成二叉树
  二叉树很象一株倒悬着的树，从树根到大分枝、小分枝、直到叶子把数据联系起来，这种数据结构就叫做树结构，简称树。树中
每个分叉点称为结点，起始结点称为树根，任意两个结点间的连接关系称为树枝，结点下面不再有分枝称为树叶。结点的前趋结点称为该结点的"双亲"，结点的后趋结点称为该结点的"子女"或"孩子"，同一结点的"子女"之间互称"兄弟"。
  普通树转二叉树，一般采用左“子女”右“兄弟”的方式来转化。
  完全二叉树
  对满二叉树，从第一层的结点(即根)开始，由下而上，由左及右，按顺序结点编号，便得到满二叉树的一个顺序表示。据此编号，完全二叉树定义如下：一棵具有ｎ个结点，深度为K的二叉树，当且仅当所有结点对应于深度为K的满二叉树中编号由１至ｎ的那些结点时，该二叉树便是完全二叉树。图4是一棵完全二叉树。
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二叉树遍历
  遍历是对树的一种最基本的运算，所谓遍历二叉树，就是按一定的规则和顺序走遍二叉树的所有结点，使每一个结点都被访问一次，而且只被访问一次。由于二叉树是非线性结构，因此，树的遍历实质上是将二叉树的各个结点转换成为一个线性序列来表示。
  设L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点和遍历右子树， 则对一棵二叉树的遍历有三种情况：DLR（称为先根次序遍历），LDR（称为中根次序遍历），LRD （称为后根次序遍历）。
  (1)前序遍历
  访问根；按前序遍历左子树；按前序遍历右子树
  (2)中序遍历
  按中序遍历左子树；访问根；按中序遍历右子树
  (3)后序遍历
  按后序遍历左子树；按后序遍历右子树；访问根
  （4）层次遍历
  即按照层次访问，通常用队列来做。访问根，访问子女，再访问子女的子女（越往后的层次越低）（两个子女的级别相同）
  特殊的二叉树
  1. 完全二叉树
  Complete Binary Tree　
  若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层从右向左连续缺若干结点，这就是完全二叉树。
  2. 满二叉树
  Full Binary Tree：
  一个高度为h的二叉树包含正是2-1元素称为满二叉树。
二叉 排序树（Binary Sort Tree）又称二叉查树。 它或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树： （1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； （2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； （3）左、右子树也分别为二叉排序树；
二叉排序树的查
  步骤：若根结点的关键字值等于查的关键字，成功。
  否则，若小于根结点的关键字值，递归查左子树。
  若大于根结点的关键字值，递归查右子树。
  若子树
为空，查不成功。
  平均情况分析（在成功查两种的情况下）
  在一般情况下，设 P（n，i）且它的左子树的结点个数为 i 时的平均查长度。如图的结点个数为 n = 6 且 i = 3; 则 P（n,i）= P（6, 3） = [ 1+ ( P(3) + 1) * 3 + ( P(2) + 1) * 2 ] / 6
  = [ 1+ ( 5/3 + 1) * 3 + ( 3/2 + 1) * 2 ] / 6
  注意：这里 P(3)、P(2) 是具有 3 个结点、2 个结点的二叉分类树的平均查长度。 在一般情况，P（i）为具有 i 个结点二叉分类树的平均查长度。 P(3) ＝ （1+2+2）/ 3 = 5/3
  P(2) ＝ （1+2）/ 2 = 3/2
  ∴ P（n,i）= [ 1+ ( P(i) + 1) * i + ( P(n-i-1) + 1) * (n-i-1) ] / n
  n 
-1
  ∴ P（n）= ∑ P（n,i）/ n <= 2(1+I/n)lnn
  i=0
  因为 2(1+I/n)lnn≈1.38logn 故P(n)=O(logn)
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二叉排序树的插入和删除
  与次优二叉树相对，二叉排序树是一种动态树表。其特点是：树的结构通常不是一次生成的，而是在查过程中，当树中不存在关键字等于给定值的节点时再进行插入。新插入的结点一定是一个新添加的叶子节点，并且是查不成功时查路径上访问的最后一个结点的左孩子或右孩子结点。
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插入算法
  首先执行查算法，出被插结点的父亲结点。
  判断被插结点是其父亲结点的左、右儿子。将被插结点作为叶子结点插入。
  若二叉树为空。则首先单独生成根结点。
  注意：新插入的结点总是叶子结点。
  //在二叉排序树中插入查关键字key
  void InsertBST(t，key)
  {
  if(t==NULL)
  {
  t=new BiTree;
  t->lchild=t->rchild=NULL;
  t->data=key;
  return;
  }
  if(key<t->data )
  InsertBST(t->lchild,key);
  else
  InsertBST (t->rchild, key );
  }
  //n个数据在数组d中，tree为二叉排序树根
  void CreateBiTree(tree,d[ ],n）
  {
  tree=NULL;
  for(i=0;i<n;i++)
  InsertBST(tree,d);
  }
  最小值二叉树c例程：
  #include<stdio.h>
  struct priorityqueue
  {
  int capacity;
  int size;
  int *elements;
  }*tryit;
  struct priorityqueue *initialize ( int maxelements )
  {
  struct priorityqueue *h;
  h = malloc ( sizeof ( struct priorityqueue ) );
  h -> elements = malloc ( sizeof ( int ) * ( maxelements + 1 ) );
  h -> capacity = maxelements;
  h -> size = 0;
  h -> elements[0] = -23767;
  return h;
  }
  void insert ( int x , struct priorityqueue *h )
  {
  int i;
  for ( i = ++h -> size ; h -> elements[ i / 2 ] > x ; i /= 2 )
  h -> elements[ i ] = h -> elements[ i / 2 ];
  h -> elements [ i ] = x;
  }
  int deletemin ( struct priorityqueue *h )
  {
  int i , child ;
  int minele
ment , lastelement;
  minelement = h -> elements[ 1 ];
  lastelement = h -> elements[ h -> size-- ];
  for ( i = 1 ; i * 2 <= h -> size ; i = child )
  {
  child = i * 2;
  if ( child != h -> size && h -> elements[ child + 1 ] < h -> elements[ child ] )
  child++;
  if ( lastelement > h -> elements[ child ] )
  h -> elements[ i ] = h -> elements[ child ];
  else
  break;
  }
  h -> elements[ i ] = lastelement;
  return minelement;
  }
  main()
  {
  tryit = initialize ( 10 );
  insert ( 4 , tryit );
  insert ( 5 , tryit );
  insert ( 10 , tryit );
  insert ( 3 , tryit );
  printf ( "%d\n" , deletemin ( tryit ) );
  printf ( "%d\n" , deletemin ( tryit ) );
  printf ( "%d\n" , deletemin ( tryit ) );
  printf ( "%d\n" , deletemin ( tryit ) );
  getch();
  }

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