原码，反码，补码及运算
一、定义
1．原码
正数的符号位为0，负数的符号位为1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这样的表示方法得到的就是数的原码。
【例2.13】当机器字长为8位二进制数时：
X＝＋1011011 [X]原码＝01011011
Y＝＋1011011 [Y]原码＝11011011
[＋1]原码＝00000001 [－1]原码＝10000001
[＋127]原码＝01111111 [－127]原码＝11111111
原码表示的整数范围是：
－（2n-1－1）~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。
则：8位二进制原码表示的整数范围是－127~＋127
16位二进制原码表示的整数范围是－32767~＋32767
2．反码
对于一个带符号的数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。
【例2.14】当机器字长为8位二进制数时：
X＝＋1011011 [X]原码＝01011011 [X]反码＝01011011
Y＝－1011011 [Y]原码＝11011011 [Y]反码＝10100100
[＋1]反码＝00000001 [－1]反码＝11111110
[＋127]反码＝01111111 [－127]反码＝10000000
负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式。反码表示的整数范围与原码相同。
3．补码
正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1。
引入补码以后，计算机中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算，其符号位也参与运算。
【例2.15】（1）X＝＋1011011 （2）Y＝－1011011
（1）根据定义有：[X]原码＝01011011 [X]补码＝01011011
（2）根据定义有：[Y]原码＝11011011 [Y]反码＝10100100
[Y]补码＝10100101
补码表示的整数范围是－2n-1~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。
则：8位二进制补码表示的整数范围是－128~＋127（-128 表示为10000000，无对应的原码和反码）16位二进制补码表示的整数范围是－32768~＋32767
当运算结果超出这个范围时，就不能正确表示数了，此时称为溢出。
所以补码的设计目的是:
⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则.
⑵使减法运算转换为加法运算，进一步简化计算机中运算器的线路设计
4．补码与真值之间的转换
正数补码的真值等于补码的本身；负数补码转换为其真值时，将负数补码按位求反，末位加1，即可
得到该负数补码对应的真值的绝对值。
【例2.16】[X]补码＝01011001B，[X]补码＝11011001B，分别求其真值X。
（1）[X]补码代表的数是正数，其真值：
X＝＋1011001B
＝＋（1×26＋1×24＋1×23＋1×20）
＝＋（64＋16＋8＋1）
＝＋（89）D
（2）[X]补码代表的数是负数，则真值：
X＝－（[1011001]求反＋1）B
＝－（0100110＋1）B
＝－（0100111）B
＝－（1×25＋1×22＋1×21＋1×20）
＝－（32＋4＋2＋1）
＝－（39）D
二、补码加、减运算规则
1、运算规则
[X＋Y]补= [X]补＋[Y]补
[X－Y]补= [X]补＋[－Y]补
若已知[Y]补，求[－Y]补的方法是：将[Y]补的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。
例如：[Y]补= 101101 [－Y]补= 010011
2、溢出判断，一般用双符号位进行判断：
符号位00 表示正数11 表示负数
结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢
例题：设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位
用补码求x+y，x－y
[x]补+[y]补=00 1101+11 1001=00 0110
[x－y]补=[x]补+[－y]补=00 1101+00 0111=01 0100
结果错误，正溢出
数值在计算机中表示形式为机器数，计算机只能识别0和1，使用的是二进制，而在日常生活中人们使用的是十进制.
数值有正负之分，计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte，原码能表示数值的范围为
(-127~-0 +0~127)共256个.
有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确，而在加减运算的时候就出现了问题，如下: 假设字长为8bits
( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)原+ (10000001)原= (10000010)原= ( -2 ) 显然不正确.
因为在两个整数的加法运算中是没有问题的，于是就发现问题出现在带符号位的负数身上，对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:
( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10
(00000001) 反+ (11111110)反= (11111111)反= ( -0 ) 有问题.
( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001) 反+ (11111101)反= (11111110)反= ( -1 ) 正确
问题出现在(+0)和(-0)上，在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中，包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).
于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一，而正数不变，正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0)，所以补码的表示范围为:
(-128~0~127)共256个.
注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下:
( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)补+ (11111111)补= (00000000)补= ( 0 ) 正确
( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001) 补+ (11111110) 补= (11111111)补= ( -1 ) 正确
所以补码的设计目的是:
⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则.
⑵使减法运算转换为加法运算，进一步简化计算机中运算器的线路设计
所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些你应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧
在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码
所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。
反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。
1、原码、反码和补码的表示方法
（1）原码：在数值前直接加一符号位的表示法。
例如：符号位数值位
[+7]原= 0 0000111    B
[-7]原=    1 0000111    B
注意：a. 数0的原码有两种形式：
[+0]原=00000000B [-0]原=10000000B
b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127
（2）反码：
正数：正数的反码与原码相同。
负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。
例如：符号位数值位
[+7]反= 0 0000111    B
[-7]反=    1 1111000    B
注意：a. 数0的反码也有两种形式，即
[+0]反=00000000B
[- 0]反=11111111B
b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127
（3）补码的表示方法
1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为
模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。
同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。
补码的最小负数2）补码的表示：
正数：正数的补码和原码相同。
负数：负数的补码则是符号位为“1”，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。
例如：符号位数值位
[+7]补= 0 0000111    B
[-7]补=    1 1111001    B
补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：
a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。
b. 与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即[0]补=00000000B。
c. 若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
2．原码、反码和补码之间的转换
由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。
在此，仅以负数情况分析。
（1）已知原码，求补码。
例：已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。
解：由[X]原=10110100B知，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。

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