计算机中乘法负数取补码，补码解释及运算
补码(two's complement)
1、在计算机系统中，数值⼀律⽤补码来表⽰(存储)。  　主要原因：使⽤补码，可以将符号位和其它位统⼀处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个⽤补  　码表⽰的数相加时，如果最⾼位(符号位)有进位，则进位被舍弃。
2、补码与原码的转换过程⼏乎是相同的。  　求给定数值的补码表⽰分以下两种情况：
(1)正数的补码
与原码相同。  　【例1】+9的补码是00001001。
(2)负数的补码
符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。  　【例2】求-7的补码。  　因为给定数是负数，则符号位
为“1”。  　后七位：+7的原码(0000111)→按位取反(1111000)→加1(1111001)  　所以-7的补码是11111001。
  　已知⼀个数的补码，求原码的操作分两种情况：  　(1)如果补码的符号位为“0”，表⽰是⼀个正数，其原码就是补码。  　(2)如果补码的符号位为“1”，表⽰是⼀个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。  　另⼀种⽅法求负数的补码如下：  　例如：求-15的补码  　第⼀步：+15：00001111  　第⼆步：逐位取反(1变成0，0变成1)，然后在末尾加1。  　11110001  　再举⼀个例⼦验证下：求-64的补码  　+64：01000000  　11000000  　【例3】已知⼀个补码为11111001，则原码是10000111(-7)。  　因为符号位为“1”，表⽰是⼀个负数，所以该位不变，仍为“1”。  　其余七位1111001取反后为0000110;  　再加1，所以是10000111。  　在“闲扯原码、反码、补码”⽂件中，没有提到⼀个很重要的概念“模”。我在这⾥稍微介绍⼀下“模”  　的概念：  “模”是指⼀个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成⼀个计量机器，它也有⼀个计量范  　围，即都存在⼀
个“模”。例如：  　时钟的计量范围是0～11，模=12。  　表⽰n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。  　“模”实质上是计量器产⽣“溢出”的量，它的值在计量器上表⽰不出来，计量器上只能表⽰出模的  　余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。  　例如： 假设当前时针指向10点，⽽准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：  　⼀种是倒拨4⼩时，即：10-4=6  　另⼀种是顺拨8⼩时：10+8=12+6=6  　在以12模的系统中，加8和减4效果是⼀样的，因此凡是减4运算，都可以⽤加8来代替。  　对“模”⽽⾔，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特  　性。共同的特点是两者相加等于模。  　对于计算机，其概念和⽅法完全⼀样。n位计算机，
设n=8， 所能表⽰的最⼤数是11111111，若再  　加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最⾼位1⾃然丢失。⼜回了00000000，所以8位⼆进制系统的  　模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数⽤相应的补数表⽰就可以  　了。把补数⽤到计算机对数的处理上，就是补码。  　另外两个概念  ⼀的补码(one's complement) 指的是正数=原码，负数=反码  　⽽⼆的补码(two's complement) 指的就是通常所指的补码。
(3).补码的绝对值(称为真值)
【例4】-65的补码是10111111  　若直接将10111111转换成⼗进制，发现结果并不是-65，⽽是191。  　事实上，在计算机内，如果是⼀个⼆进制数，其最左边的位是1，则我们可以判定它为负数，并且是⽤补码表⽰。  　若要得到⼀个负⼆进制数的绝对值(称为真值)，只要各位(包括符号位)取反，再加1，就得到真值。  　如：⼆进制值：10111111(-65的补码)  　各位取反：01000000  　加1：01000001(+65的补码)
代数加减运算
1、补码加法
[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补  　【例5】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补  　[X]补=00110011 [Y]补=11010111  　
补码的最小负数
[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010  　注：因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产⽣的最⾼位进位将丢掉，所以结果不是  　100001010，⽽是00001010。
2、补码减法
[X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补  　其中[-Y]补称为负补，求负补的⽅法是：所有位(包括符号位)按位取反；然后整个数加1。  　【例6】1+(-1) [⼗进制]  　1的原码00000001 转换成补码：00000001  　-1的原码10000001 转换成补码：11111111  　1+(-1)=0  　00000001+11111111=00000000  　00000000转换成⼗进制为0  　0=0所以运算正确。
3、补码乘法
设被乘数【X】补=X0.X1X2……Xn-1，乘数【Y】补=Y0.Y1Y2……Yn-1,  　【X*Y】补=【X】补×【Y】补，即乘数(被乘数)相乘的补码等于补码的相乘。
补码的代数解释
任何⼀个数都可以表⽰为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;  　这个假设a为正数，那么-a就是负数。⽽根据⼆进制转⼗进制数的⽅法，我们可以把a 表⽰为：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)  　这⾥k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，⽽且这⾥设a的⼆进制位数为n位，即其模为2^(n-1),⽽2^(n-1)其⼆项展开是:1
+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)，⽽式⼦：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代⼊
a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n- 2)两式，2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1- k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,⽽这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这⾥
k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以 1-k0,1-k1,1-k2的运算就是⼆进制下的取反，⽽为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1)的⼆项展开式最后还有⼀项1的缘故。⽽ -a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1)这项未解释，这项就是补码⾥⾸位的1，⾸位1在转化为⼗进制时要乘上2^(n-1)，这正是n位⼆进制的模。  　不能贴公式，所以看起来很⿇烦，如果写成代数式⼦看起来是很⽅便的。  　注：n位⼆进制，最⾼位为符号位，因此表⽰的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1，所以模为2^(n-1)。上⾯提到的8位⼆进制模为2^8是因为最⾼位⾮符号位，表⽰的数值范围为0——2^8-1。  　C语⾔中，就是⽤补码进⾏存储和运算的。

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