java中补码怎么计算,⼆进制中补码计算简单详实的讲解
本⽂说明⼀个基本的问题，补码的问题。
需要说明⼀点补码是对负整数在计算机中存储的⼀种形式；另⼀种形式是负数在计算机中可以⽤符号+负数绝对值的形式表⽰⼀个负数；⽐如(-3: 1000 0011存储)但是这种表⽰的负数有两个零+0，-0，最要命的⼀点是不能做算术运算。⽐如10-3=10+(-3)=0000 1010+ 1000 0011=1000 1101=-13显然是错的。所以负整数必须以补码存储。
负数在计算机中如何表⽰？
举例来说，+8在计算机中表⽰为⼆进制的1000，那么-8怎么表⽰呢？
很容易想到，可以将⼀个⼆进制位(bit)专门规定为符号位，它等于0时就表⽰正数，等于1时就表⽰负数。⽐如，在8位机中，规定每个字节的最⾼位为符号位。那么，+8就是00001000，⽽-8则是10001000。
补码的最小负数
但是，随便⼀本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采⽤2的补码(Two’s Complement)表⽰负数。
在讲补码之前简单介绍机器数，真值，原码和反码的背景。
1、机器数
⼀个数在计算机中的⼆进制表⽰形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机⽤⼀个数的最⾼位存放符号, 正数0，负数为1。
1
⽐如，⼗进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成⼆进制就是0000 0011。如果是 -3 ，就是 1111 1101 。那么，这⾥的00000011 和 1111 1101 就是机器数。 机器数包含了符号和数值部分。
2、真值
因为第⼀位是符号位，所以机器数的形式值就不能很好的表⽰真正的数值。例如上⾯的有符号数 1111 1101，其最⾼位1代表负，其真正数值是 -3 ⽽不是形式值253(1111 1101按⽆符号整数转换成⼗进制等于253)。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –0111 1111 = –127；这⾥所说的⽐如-3⼆进制代码为10000011，就是我们计算机⾥⾯对-3表⽰的源码。下⾯介绍源码
⾸先说明⼀点
在计算机内，有符号数有3种表⽰法：原码、反码和补码。
3、原码
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即⽤第⼀位表⽰符号, 其余位表⽰值. ⽐如如果是8位⼆进制
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
因为第⼀位是符号位, 所以若是8位⼆进制数，其取值范围就是:
[1111 1111 , 0111 1111]
即[-127 , 127]
原码是⼈脑最容易理解和计算的表⽰⽅式。
4 、反码
反码表⽰法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
[+1] = [ 00000001 ]原码 = [ 00000001 ]反码；
[-1] = [ 10000001 ]原码 = [ 11111110 ]反码；
可见如果⼀个反码表⽰的是负数, ⼈脑⽆法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算。
什么是⼆进制的补码？
注明：正数的补码与负数的补码⼀致，负数的补码符号位为1，这位1即是符号位也是数值位，然后加1
补码借鉴的模概念，虽然理解起来有点晦涩难懂。可以跳过
模的概念：把⼀个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进⾏计数循环的，即以12为模。
在时钟上，时针加上(正拨)12的整数位或减去(反拨)12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为(下午)2点钟(14=14-
12=2)。从0点出发逆时针拨10格即减去10⼩时，也可看成从0点出发顺时针拨2格(加上2⼩时)，即2点(0-10=-10=-10+12=2)。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于⼀个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是⼀样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以⽤加2来代
替，这就把减法问题转化成加法问题了(注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以⼤部分的运算都必须最终转换为加法)。10和2对模12⽽⾔互为补数。同理，计算机的运算部件与寄存器都有⼀定字长的限制(假设字长为16)，因此它的运算也是⼀种模运算。当计数器计满16位也就是65536个数后会产⽣溢出，⼜从头开始计数。产⽣溢出的量就是计数器的模，显然，16位⼆进制数，它的模数为2^16=65536。在计算中，两个互补的数称为“补码”。⽐如⼀个有符号8位的数可以表⽰256个数据，最⼤数是0 1 1 1 1 1 1 1(+127)，最⼩数1 0 0 0 0 0 0 0 (-128)；那么第255个数据，加2和减254都是⼀样的效果得出的结果是第⼀个数据 ，所以2和254是⼀样的效果。对于255来说2和254是互补的数。
求⼀个正数对应补码是⼀种数值的转换⽅法，要分⼆步完成：
第⼀步，每⼀个⼆进制位都取相反值，即取得反码；0变成1，1变成0。⽐如，00001000的反码就是11110111。
第⼆步，将上⼀步得到的反码加1。11110111就变成11111000。所以，00001000的⼆进制补码就是11111000。也就是说，-8在计算机(8位机)中就是⽤11111000表⽰。
不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采⽤这么⿇烦的⽅式表⽰负数，更直觉的⽅式难道不好吗？
⼆进制补码的好处
⾸先，要明确⼀点。计算机内部⽤什么⽅式表⽰负数，其实是⽆所谓的。只要能够保持⼀⼀对应的关系，就可以⽤任意⽅式表⽰负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择⼀种⽤的爽直观⽅便的⽅式。
⼆进制的补码就是最⽅便的⽅式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使⽤同⼀种电路完成。
还是以-8作为例⼦。假定有两种表⽰⽅法。⼀种是直觉表⽰法，即10001000；另⼀种是2的补码表⽰法，即11111000。请问哪⼀种表⽰法在加法运算中更⽅便？随便写⼀个计算式，16 + (-8) = ?16的⼆进制表⽰是 00010000，所以⽤直觉表⽰法，加法就要写成：
０００１００００
＋１０００１０００原码形式-8
－－－－－－－－－
１００１１０００
可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成⼗进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适⽤于正数与负数的加法，因此必须制定两套
运算规则，⼀套⽤于正数加正数，还有⼀套⽤于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。所以⽤原码表⽰负数是不⾏的。
现在，再来看⼆进制的补码表⽰法。
０００１００００
＋１１１１１０００补码形式-8
－－－－－－－－－
１００００１０００
可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是⼀个9位的⼆进制数。我们已经假定这是⼀台8位机，因此最⾼的第9位是⼀个溢出位，会被⾃动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成⼗进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表⽰法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从⽽⽤⼀套电路就可以实现全部整数的加法。
⼆进制补码的本质，本质是⽤来表⽰负整数的
在回答⼆进制补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个求补码步骤的转换⽅法是怎么来的。下⾯描述了⼀个正数怎么求它对应负数在计算机的表达⽅式。⽐如128，正数为10000000，但是惊奇的发现-128也是10000000。但是这⾥由于属于数据类型的限定，第⼋位同样⼀个1代表不同的含义，前⾯的 1是数值位，后⾯数的 1是符号位。
要将正数转成对应的负数，其实只要⽤0减去这个数就可以了。⽐如，-8其实就是0-8。⽤模数的概念解释如下图
已知8的⼆进制是00001000，-8就可以⽤下⾯的式⼦求出：
００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－- - - -
因为00000000(被减数)⼩于0000100(减数)，所以不够减。请回忆⼀下⼩学算术，如果被减数的某⼀位⼩于减数，我们怎么办？很简单，问上⼀位借1就可以了。
所以，0000000也问上⼀位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，这是重点；算式也就改写成：
１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－- - -
１１１１１０００
进⼀步观察，可以发现可分拆为100000000 = 11111111 + 1，所以上⾯的式⼦可以拆成两个：
１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１０１１１取反
＋０００００００１加⼀
－－－－－－－－－
１１１１１０００
⼆进制的补码两个转换步骤就是这么来的。
举个例⼦，⽐如-128补码的由来，先把正整数128⼆进制表⽰出来10000000求-128的补码
1 1 1 1 1 1 1 1
-1 0 0 0 0 0 0 0
－－－－－－－－－
0 1 1 1 1 1 1 1
+0 0 0 0 0 0 0 1
－－－－－－－－－
1 0 0 0 0 0 0 0
即-128的补码是10000000。8位的结构能表⽰的最⼩数是-128；
所以可以总结求补码的范式是这样的：
求n位系统的⼀个数正数A : 01101101101……….11101100(n位⼆进制)，怎么求他的补码呢，就⽤n位的1111111111111111111…..111(n位) - 11101101101……….11101100(n位⼆进制) + 1 = A的补码就⾏啦！但是
如果⼀个1111111111111…..111111(n位全为1的正整数的补码)，要⽤1111111111111…….11111(n+1位) -1111111111111…..111111(n位全为1的正整数) +1 才能求的她对应的补码。
如uint16 A =200, uint16 B =65535，那么C =A-B;
65535的补码：正数65535为1111 1111 1111 1111，进⾏下⾯的计算求得B的补码即-B；先展⽰有补码符号位，即补码有最⾼位位1的；
1 1111 1111 1111 1111 -1111 1111 1111 1111 +1 =1 0000 0000 0000 0001，相当于被减数是10 0000 0000 0000 0000(18位) =1 1111 1111 1111 1111 +1
因为A和B 都是16位的⽆符号数，所以65535的补码最⾼位舍去，相当于被减数是1 0000 0000 0000 0000 =1111 1111 1111 1111 +1，即可以⽤上⾯的范式⽅法，但是这样-B就没有体现它的负数的符号位了；当然这是因为16位运算超出16位的位都舍去了。即-B=1；即A-B= 200+1 =201。其实也可以⽤模数概念解释A -B；如下图正数的模数
为什么正数加法也适⽤于⼆进制的补码？
实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以⽤X加上Y的2的补码(-Y)完成。
Y的⼆进制补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：X + (11111111-Y) + 1；我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1。
接下来，分成两种情况讨论。
第⼀种情况，如果X⼩于Y，那么Z是⼀个负数。这时，我们就对Z采⽤补码的逆运算，就是在做⼀次求补码运算，求出它对应的正数绝对值，只要前⾯加上负号就⾏了。所以，
Z = -[11111111-Z+1] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1)+1)] = X - Y；这⾥如果X Y Z都是⽆符号型的，且X < Y 那么Z 最终得到的数是|X-Y|距离的绝对值了，⽐如X=1,Y= 255，那么Z=2，因为从255到1只要加两次就到了。这⾥你不要问我为什么，这⾥就⽤到上⾯的模概念。
第⼆种情况，如果X⼤于Y，这意味着Z肯定⼤于11111111，但是我们规定了这是8位机，最⾼的第9位是溢出位，必须被舍去，舍去相当于减去吗！所以减去100000000。所以，
Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y
这就证明了，在正常的加法规则下，可以利⽤2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换⾔之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。

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