⾼斯函数（Gaussianfunction）的详细分析
摘要
论⽂中遇到很重要的⼀个元素就是⾼斯核函数，但是必须要分析出⾼斯函数的各种潜在属性，本⽂⾸先参考相关材料给出⾼斯核函数的基础，然后使⽤matlab⾃动保存不同参数下的⾼斯核函数的变化gif动图，同时分享出源代码，这样也便于后续的论⽂写作。
⾼斯函数的基础
2.1 ⼀维⾼斯函数
⾼斯函数，Gaussian Function， 也简称为Gaussian，⼀维形式如下：
对于任意的实数a,b,c，是以著名数学家Carl Friedrich Gauss的名字命名的。⾼斯的⼀维图是特征对称“bell curve”形状，a是曲线尖峰的⾼度，b是尖峰中⼼的坐标，c称为标准⽅差，表征的是bell钟状的宽度。
⾼斯函数⼴泛应⽤于统计学领域，⽤于表述正态分布，在信号处理领域，⽤于定义⾼斯滤波器，在图像处理领域，⼆维⾼斯核函数常⽤于⾼斯模糊Gaussian Blur，在数学领域，主要是⽤于解决热⼒⽅程和扩散⽅程，以及定义Weiertrass Transform。
从上图可以看出，⾼斯函数是⼀个指数函数，其log函数是对数凹⼆次函数 whose logarithm a concave quadratic function。
⾼斯函数的积分是误差函数error function，尽管如此，其在整个实线上的反常积分能够被精确的计算出来，使⽤如下的⾼斯积分
同理可得
当且仅当
上式积分为1，在这种情况下，⾼斯是正态分布随机变量的概率密度函数，期望值μ=b，⽅差delta^2 = c^2，即
2.2 ⼆维⾼斯函数
⼆维⾼斯函数，形如
round函数有几个参数A是幅值，x。y。是中⼼点坐标，σx σy是⽅差，图⽰如下，A = 1, xo = 0, yo = 0, σx = σy = 1
2.3 ⾼斯函数分析
这⼀节使⽤matlab直观的查看⾼斯函数，在实际编程应⽤中，⾼斯函数中的参数有
ksize ⾼斯函数的⼤⼩
sigma ⾼斯函数的⽅差
center ⾼斯函数尖峰中⼼点坐标
bias ⾼斯函数尖峰中⼼点的偏移量，⽤于控制截断⾼斯函数
为了⽅便直观的观察⾼斯函数参数改变⽽结果也不⼀样，下⾯的代码实现了参数的⾃动递增，并且将所有的结果图保存为gif图像，⾸先贴出完整代码：
function mainfunc()
% 测试⾼斯函数，递增的⽅法实现⾼斯函数参数的改变对整个⾼斯函数的影响，
% 并⾃动保存为gif格式输出。
% created by zhao.buaa 2016.09.28
%% 保存gif动画
item = 10; % 迭代次数
dt = 1; % 步长⼤⼩
ksize =20; % ⾼斯⼤⼩
sigma = 2; % ⽅差⼤⼩
% filename = ['ksize-' num2str(ksize) '--' num2str(ksize+dt*item) '-sigma-' num2str(sigma) '.gif']; %必须预先建⽴gif⽂件filename = ['ksize-' num2str(ksize) '-sigma-' num2str(sigma) '--' num2str(sigma+dt*item) '.gif']; %必须预先建⽴gif⽂件
% main loop
for i = 1:item
center = round(ksize/2); % 中⼼点
bias = ksize*10/10; % 偏移中⼼点量
ksigma = ksigma(ksize, sigma, center, bias); % 构建核函数
tname = ['ksize-' num2str(ksize) '-sigma-' num2str(sigma) '-center-' num2str(center)];
figure(i), mesh(ksigma), title(tname);
%设置固定的x-y-z坐标范围，便于观察，axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])
axis([0 ksize 0 ksize 0 0.008]); view([0, 90]);% 改变可视⾓度
% ksize 递增
% ksize = ksize + 10;
% sigma 递增
sigma = sigma + dt;
% ⾃动保存为gif图像
frame = getframe(i);
im = frame2im(frame);
[I,map] = rgb2ind(im,256);
if i==1
imwrite(I,map,filename,'gif','Loopcount',inf, 'DelayTime',0.4);
else
imwrite(I,map,filename,'gif','WriteMode','append','DelayTime',0.4);
end
end;
close all;
%% 截断⾼斯核函数，截断的程度取决于参数bias
function ksigma = ksigma(ksize, sigma, center,bias)
%ksize = 80; sigma = 15;
ksigma=fspecial('gaussian',ksize, sigma); % 构建⾼斯函数
[m, n] =size(ksigma);
for i = 1:m
for j = 1:n
if( (i<center-bias)||(i>center+bias)||(j<center-bias)||(j>center+bias) )
ksigma(i,j) = 0;
end;
end;
end;
结果图：
固定ksize为20，sigma从1-9，固定center在⾼斯中间，并且bias偏移量为整个半径，即原始⾼斯函数。
随着sigma的增⼤，整个⾼斯函数的尖峰逐渐减⼩，整体也变的更加平缓，则对图像的平滑效果越来越明显。
保持参数不变，对上述⾼斯函数进⾏截断，即truncated gaussian function，bias的⼤⼩为ksize*3/10，则结果如下图：
truncated gaussian function的作⽤主要是对超过⼀定区域的原始图像信息不再考虑，这就保证在更加合理的利⽤靠近⾼斯函数中⼼点的周围像素，同时还可以改变⾼斯函数的中⼼坐标，如下图：
为了便于观察截断的效果，改变了可视⾓度。
⾼斯核函数卷积
论⽂中使⽤gaussian与feature map做卷积，⽬前的结果来看，要做到随着到边界的距离改变⾼斯函数的截断参数，因为图像的边缘如果使⽤原始⾼斯函数，就会在边界地⽅出现特别低的⼀圈，原因也很简单，⾼斯函数在与原始图像进⾏⾼斯卷积的时候，图像边缘外为0计算的，那么如何解决边缘问题呢？
先看⼀段代码：
[plain]
1. % 截断⾼斯核函数
2. ksize = 40; ksigma=fspecial('gaussian', ksize, 6);
3. [m, n] =size(ksigma);
4. for i = 1:m
5. for j = 1:n
6. if( i<25 )
7. ksigma(i,j) = 0;
8. end;
9. end;
10. end;
11. figure, mesh(ksigma);
在i，即row上对⾼斯核函数进⾏截断，bias为半径⼤⼩，则如图6
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