第二章有限元法的基本原理
有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法
加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1 微分方程的等效积分形式
工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数应满足微分方程组
                （在内）      （2-1）
域可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。同时未知函数还应满足边界条件
                （在内）      （2-2）
要求解的未知函数可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。，是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：
        （在内）    （2-3）
                （2-4）
这里表示温度（在渗流问题中对应压力）；是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度）；和是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；是有关边界的外法线方向；是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
在上述问题中，若和只是空间位置的函数时，问题是线性的。若和是及其导数的函数时，问题则是非线性的。
由于微分方程组（2-1）在域中每一点都必须为零，因此就有
            （2-5）
其中
                                    （2-6）
其中是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。
式（2-5）是与微分方程组（2-1）完全等效的积分形式。我们可以说，若积分方程对于任意的都能成立，则微分方程（2-1）必然在域内任一点都得到满足。同理，假如边界条件（2-2）亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组任意函数，下式应当成立
                 
因此积分形式
                             
对于所有的和都成立是等效于满足微分方程（2-1）和边界条件（2-2）。我们把（2-7）式称为微分方程的等效积分形式。
2.1.2等效积分的“弱”形式
在一般情况下，对（2-7）式进行分部积分得到另一种形式：
                  （2-8）
其中，，，是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较（2-7）式的低，这样对函数只需要求较低阶的连续性就可以了。在（2-8）式中降低连续性要求是以提高和的连续性要求为代价的，由于原来对和（在（2-7）式中）并无连续性要求，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。这种降低对函数连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分重要的。（2-8）式称为微分方程（2-1）和边界条件（2-2）式的等效积分“弱”形式。值得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数的连续性要求降低了，但对实际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，因为原始微分方程往往对解提出了过分“平滑”的要求。
2.1.3 加权余量法
在求解域中，若场函数是精确解，则在域中任一点都满足微分方程（2-1）式，同时在边界 上任一点都满足边界条件（2-2）式，此时等效积分形式（2-7）式或（2-8）式必然严格地得到满足。但是对于复杂的实际问题，这样的精确解往往是很难到的，因此人们需要设法到具有一定精度的近似解。
对于微分方程（2-1）式和边界条件（2-2）式所表达的物理问题，未知场函数可以采用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是
                            （2-9）
其中，是待定参数；是试探函数（或称基函数、形函数），为已知函数，它取自完全的函数序列，是线性独立的。所谓完全的函数系列是指任一函数都可以用此序列表示。近似解通常选择使之满足强制边界条件和连续性的要求。例如当未知函数是压力时，可取近似解
                       
其中是待定参数，共有个。
显然，在通常取有限项数的情况下近似解是不能精确满足微分方程（2-1）式和边界条件（2-2）的，它们将产生残差及
                           
残差及亦称为余量。在（2-7）式中我们用个规定的函数来代替任意函数round函数有几个参数及，即
                       
可以得到近似的等效积分形式
        （2-10）
亦可以写成余量的形式
                  （2-11）
（2-10）式或（2-11）式的意义是通过选择待定系数，强迫余量在某种平均意义下等于零。和称为权函数。余量的加权积分为零就得到了一组求解方程，用以求解近似解的待定系数，从而得到原问题的近似解答。求解方程（2-10）的展开形式是
                       
                       
                                                 
                       
其中若微分方程组的个数为，边界条件的个数为，则权函数是阶的函数列阵，是阶的函数列阵。
当近似函数所取试探函数的项数越多，近似解的精度将越高。当项数趋于无穷时，近似解将收敛于精确解。
对应于等效积分“弱”形式（2-8）式，同样可以得到它的近似形式
    （2-12）
采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。加权余量法是求微分方程近似解的一处种有效方法。常用的权函数的选择有以下几种：
（1）配点法，这种方法相当于简单地强迫余量在域内个点上等于零；
（2）子域法，该方法的实质是强迫余量在个子域的积分为零；
（3）最小二乘法，此方法实质是使得近似解和权函数组成的泛函取最小值；
（4）力矩法，该方法是强迫余量的各次矩等于零，通常又称此法为积分法；
（5）伽辽金法（Galerkin）。
加权余量法可以用于广泛的方程类型，选择不同的权函数，可以产生不同的加权余量法；通过采用等效积分的“弱”形式，可以降低对近似函数连续性要求当近似函数满足连续性和完备性要求、试探函数的项数不断增加时，近似解可趋近于精确解。由于Galerkin具有广泛的适用性，因此，下面简单介绍其基本原理：
取，在边界上，即简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数。近似积分形式可以写成
        （2-13）
由（2-9）式，可以定义近似解的变分为
                                         
其中是完全任意的。（2-13）式可更简洁地表示为
                                         
对于近似积分的“弱”形式（2-12）式则有
                                   
我们将会看到，在很多情况下，采用伽辽金法得到的求解方程的系数矩阵是对称的，这是在用加权余量法建立有限元格式时几乎毫无例外地采用伽辽金法的主要原因，而且当存在相应的泛函时，伽辽金法与变分法往往导致同样的结果。
2.2变分原理
讨论一个连续介质问题的变分原理首先要建立一个标量泛函，它由积分形式确定
              （2-14）
其中，是未知函数，和是特定的算子，是求解域，是的边界。称为未知函数的泛函，它随函数的变化而变化。连续介质问题的解使泛函对于微小的变化取驻值，即泛函的“变化”等于零
                                        （2-15）
这种求得连续介质问题解的方法称为变分原理或变分法。
如前所述，连续介质问题中经常存在着和微分方程及边界条件不同的，但却是等价的表达形式，变分原理是另一种表达连续介质问题的积分表达形式。在用微分公式表达时，问题的求解过程是对具有已知边界条件的微分方程或微分方程组进行积分。在经典的变分原理表达中，
问题的求解过程是寻求使得具有一定已知边界条件的泛函（或泛函系）取驻值的未知函数（或函数系）。这两种表达形式是等价的，一方面满足微分方程及边界条件的函数将使泛函取极值或驻值，另一方面从变分的角度来看，使泛函取极值或驻值的函数正是满足问题的控制微分方程和边界条件的解。
应注意到，经常有些物理问题可以直接用变分原理的形式来叙述，如表述力学体系平衡问题的最小位能原理和最小余能原理等，但是并非所有以微分方程表达的连续介质问题都存在这种变分原理。
研究表明，原问题等效积分的Galerkin提法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即泛函取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的微分方程和边界条件，而泛函可以通过原问题的等效积分的Galerkin提法而得到。Galerkin法的适用性比变分原理要强，原因是对于有的微分方程很难到。
对应的泛函或根本不到泛函，这时变分原理不适用，但Galerkin法仍然适用。
如前所述，无论是加权余量法还是变分原理，虽然可以得到微分程的近似解，但是由于它是在全求解域中定义近似函数，因此实际应用中会遇到两方面的困难
（1）在求解域比较复杂的情况下，选取满足边界条件的试探函数，往往会产生难以克制的困难，甚至有时做不到。
（2）为了提高近似解的精度，需要增加待定参数，即增加试探函数的项数，这就增加了求解的繁杂性。而且由于试探函数定义于全域，因此不可能根据问题的要求，在求解域的不同部位对试探函数提出不同精度的要求，往往由于局部精度的要求使整个问题的求解增加许多困难。

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