函数定义域的求法
作者： 刘铁峰 (高中数学  赤峰数学一班 )    评论数/浏览数： 1 / 37    发表日期： 2011-07-08 16:32:19
 
性质及其应用
函数的性质及其应用是高考数学的重点和热点．熟练掌握函数的性质，能灵活运用函数的性质解决有关问题，是高考数学获胜的一个重要方面 ．因此，临考前对函数的性质及应用作适当的复习和思路整理是有必要的．
函数的定义域怎么算
一、 函数的定义域及求法
    1、 分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；
    2、 对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；
    3、 正切函数：x ≠ kπ + π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ kπ ,k∈Z ；
    4、 一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；
    5、 定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；
    6、 复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．
[例题]：
1、 求下列函数的定义域
3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．
[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]
    当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→ 原函数的定义域为R；
    当m≠0时，则 mx2-4mx+m+3＞0，
        ①m＜0时，显然原函数定义域不为R；
        ②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，
    所以当m∈[0,1) 时，原函数定义域为R．
4、求函数y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域．
[解析]：［求原函数的值域］
    由题意可知，即求原函数的值域，
    ∵x≥4,  ∴log2x≥2    ∴y≥3
    所以函数y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)．
5、 函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log2x)的定义域．
[解析]：由题意可知2-1≤2x≤21      →  f(x)定义域为[1/2，2]
      → 1/2≤log2x≤2  → √￣2≤x≤4．
所以f(log2x)的定义域是[√￣2,4]．
二、 函数的值域及求法
    1、 一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；
    2、 二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，y≤-△/4a ；
    3、 反比例函数的值域：y≠0 ；
    4、 指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；
    5、 正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；
    6、 值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．
[例题]：：求下列函数的值域
   
[解析]：
1、[利用求反函数的定义域求值域]
    先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x≠2，
    由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2}
2、[利用反比例函数的值域不等于0]
由题意可得，
          因此，原函数的值域为[1/2,+∞)
4、[利用分离变量法和换元法]

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