高中函数定义域和值域的求法总结
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1  求函数8
|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足
⎩⎨⎧≠-+≥--②①0
8|3x |015x 2x 2 由①解得  3x -≤或5x ≥。  ③
由②解得  5x ≠或11x -≠ ④
③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2  求函数2x
161x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足
⎩
⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π，
③ 由②解得4x 4<<-    ④
由③和④求公共部分，得
π≤<π-≤<-x 0x 4或
故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，
评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3  已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4  已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
函数的定义域怎么算解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。
即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5  已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项
的系数是m ，所以应分m=0或0m ≠进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为R ；
当0m ≠时，08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是
1
m 00)8m (m 4)m 6(0m 2≤<⇒⎩⎨⎧≤+--=∆>
综上可知1m 0≤≤。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例6  已知函数3
kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的定义域是R ，求实数k 的取值范围。 解：要使函数有意义，则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立，因为)x (f 的定义域为R ，即03kx 4kx 2=++无实数
①当k ≠0时，0k 34k 162<⨯-=∆恒成立，解得43k 0<
<； ②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k 的取值范围是4
3k 0<≤。 四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
例7  将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。
解：设矩形一边为x ，则另一边长为)x 2a (2
1-于是可得矩形面积。 2x ax 2
1)x 2a (21x y -=-⋅= ax 2
1x 2+-=。 由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->0x 2a 0x 0)x 2a (2
10x  2
a x 0<<⇒。 故所求函数的解析式为ax 2
1x y 2+-=，定义域为（0，2a ）。 例8  用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域。
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
因为CD=AB=2x ，所以x CD π=⋂，所以2
x x 2L 2CD AB L AD π--=--=⋂
， 故2
x 2x x 2L x 2y 2
π+π--⋅= Lx x )2
2(2+π+-= 根据实际问题的意义知
2L x 002x x 2L 0x 2+π<<⇒⎪⎩
⎪⎨⎧>π--> 故函数的解析式为Lx x )2
2(y 2+π+-=，定义域（0，2L +π）。 五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例9  已知)x (f 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。 解：因为)x (f 的定义域为［0，1］，即1x 0≤≤。故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集：
⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0，即⎩
⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a 1x a  即两个区间［－a ，1－a ］与［a ，1+a ］的交集，比较两个区间左、右端点，知
（1）当0a 2
1≤≤-
时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-； （2）当2
1a 0≤≤时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {-≤≤； （3）当21a >或21a -<；时，上述两区间的交集为空集，此时F （x ）不能构成函数。 六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例10  求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间。
解：由03x 2x 2>++-，即03x 2x 2<--，解得3x 1<<-。即函数y 的定义域为（－1，3）。
函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的。 4)1x (3x 2x t 22+--=++-=，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t 在区间]1(，-∞上是增函数；在区间)1[∞+，上是减函数，而t log y 2=在其定义域上单调增；
3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞-  ，
所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(，
-上是增函数，在区间)31[，上是减函数。
函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1
y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1
≠
显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞
例2. 求函数x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥
3x 3,0x ≤-≤-∴
故函数的值域是：]3,[-∞
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=
∵]2,1[x -∈
由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，
8y max =
故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
例4. 求函数22
x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程
0x )1y (x )1y (2=-+-
（1）当1y ≠时，R x ∈
0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆
解得：23
y 21
≤≤
（2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈23
,211
故函数的值域为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
23,21
例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）
∵R x ∈
∴0y 8)1y (42≥-+=∆
解得：21y 21+≤≤-
但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤
由0≥∆，仅保证关于x 的方程：
0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0
≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤
0)x 2(x x y ≥-+=∴
21y ,0y min +==∴代入方程（1）
解得：]2,0[22
222x 41∈-+=
即当22222x 41
-+=时，
原函数的值域为：]21,0[+
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数6x 54
x 3++值域。 解：由原函数式可得：
3y 5y 64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠
故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53,
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。
解：由原函数式可得：
1y 1y e x -+=

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