常见的函数定义域可以归纳如下
（1） 当f(x)是整式时，函数的定义域是实数集R
（2） 当 f(x)是分式时，定义域是分母不等于0的实数集合
（3） 当f(x)是偶次根式时，函数的定义域是根式内的非负的实数集合
（4） 当f(x)为对数时，函数的定义域是使其真数为正数
（还要底数为正数且底数不等于1）的实数集合
（5） 当f(x)中含有正切tanx和正割secx时，函数的定义域使x≠nπ+ (n∈z)的实数集合，当f(x)中含有余割和余切时，函数的定义域是x≠nπ（n∈z）的实数集合
（6） 当f(x)中含有反正弦与反余弦时，函数的定义域是满足|x|≤1的实数集合
（7） 复合函数的定义域是复合的各基本函数定义域的交集
例一  已知函数f(x)的定义域是（0 1],求g(x)=f(x+a)f(x-a)的定义域（其中-<a≤0）
解  由已知
0<x+a≤1
0<x-a≤1
即  -a<x≤1-a
    a <x≤1+a
所以函数g(x)的定义域是区间（-a  1-a] (a  1+a]的交集
因为  -<a≤0
所以a≤-a<1+a≤1-a
因此（-a  1-a] ∩(a  1+a]=(-a  1+a]
所以函数g(x)的定义域是(-a  1+a]
函数值域的求法
1 直接法  从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围
2 配方法  二次函数或二次复合函数的值域可以用来做
3 换元法  某些无理的函数利用换元法转变为二次函数求值域，对于形如√a-x的函数可以利用三角换元，令x=acosθ , θ∈[-  ]
4 反函数法  将所求函数的值域转化为求它的反函数的定义域
5 判别式法  整理成某一元二次方程，利用判别式求出y的取值范围，但是注意回验
6 不等式法  利用基本不等式
7 单调性法  确定函数在定义域的单调性求值域
8 图象法  当一个函数图象可知时，可以观察图象的最低点和最高点求值域
9 导数法  当一个函数在定义域上可导时，根据其导数求最值
10 几何意义  利用图形的长度，数形结合，如斜率
例二  已知f(x)的值域是[  ]，试求y=g(x)=f(x)+ √1-2f(x)的值域
解析
令t=√1-2f(x)，则由≤f(x) ≤
得到≤1-2f(x) ≤
t∈[  ],此时f(x)= (1-t)
所以y=F(t)= (1-t)+t=- (t-1) +1
因为函数y=F(t)在区间[  ]上递增
所以y的最小值是F()  最大值F()
例三
已知f(x)=   ,x∈[1  +∞﹚
（1）当a=时，求函数的最小值
（2）若对任意的x∈[1  +∞﹚时，f(x)>0
求实数a的取值范围
解（1）当a=时，f(x)=x++2
因为f(x)在区间[1  +∞﹚上为增函数，所以f（1）是最小值
（2）在区间[1  +∞﹚上f(x)= >0恒成立
所以x+2x+a>0恒成立
设y=x+2x+a=(x+1) +a-1.则函数y在[1  +∞﹚为增函数
所以x=1  y=3+a
于是当且仅当y函数的定义域怎么算=3+a>0时，即a>-3时f(x)>0恒成立

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