函数的三要素
函数的三要素是指定义域、值域、对应法则，每个要素里掌握的方向不一样。定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些。下面一一介绍。
一、定义域
1、具体函数定义域：主要从以下几个方面去掌握：
(1)整式函数的定义域是全体实数。
(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。函数的定义域怎么算
(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0
(4)对数函数是真数大于0
(5)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
2、抽象函数的定义域：此部分只需记住2句话即可：
（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。
（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。通俗一句话就是括号里的取值范围一样。
3、实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
命题点1 求具体函数的定义域
例1 求下列函数的定义域.
(1)y ＝3－12
x ； (2)y ＝2x －1－7x ；
(3)y ＝(x ＋1)0
x ＋2
； (4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x
. 考点 函数的定义域
题点 求具体函数的定义域
解 (1)函数y ＝3－12
x 的定义域为R . (2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17， 所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为⎣⎡⎦
⎤0，17. (3)由于0的零次幂无意义，
故x ＋1≠0，即x ≠－1.
又x ＋2>0，即x >－2，
所以x >－2且x ≠－1.
所以函数y ＝(x ＋1)0
x ＋2
的定义域为{}x | x >－2且x ≠－1.
(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0， 解得－32≤x ＜2，且x ≠0， 所以函数y ＝2x ＋3－
12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32≤x ＜2，且x ≠0.
例2 (1)、(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．
答案 {x |x ≥2}
解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，
满足x >0，
所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．
(2)、函数f (x )＝1x
ln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________． 答案 [－4,0)∪(0,1)
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，
解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)． （3）、函数y ＝ln ⎝⎛⎭
⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]
解析 函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1＋1x >0，
1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.
命题点2 求抽象函数的定义域
1、设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．
答案 ⎣⎡⎦
⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即
0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12
≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.
思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域
①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．
(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．
2、若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1
的定义域是(  ) A ．[0,1)
B ．[0,1]
C ．[0,1)∪(1,4]
D ．(0,1) 答案 A
解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧
0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.
命题点3 已知定义域求参数的值或范围
例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．
答案 －92
解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－32，
b ＝－3， 所以a ＋b ＝－32－3＝－92
. (2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．
答案 ⎣⎡⎦
⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即
0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12
≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (4)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]
解析 由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立．
当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；
当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧
m >0，m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]．
二、对应法则
函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）；
(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；
(4)消去法（构造方程组法）：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造
出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
命题角度1 待定系数法求函数解析式
例1 已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝2x －1，求f (x )的解析式.
解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b
＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，
由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝2，a
b ＋b ＝－1， ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧
a ＝－2，
b ＝1＋  2.
∴所求函数解析式为
f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋  2.
反思感悟 适合用待定系数法求解析式的函数类型，通常为已知的函数类型，如一次函数，二次函数等.
跟踪训练 f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )的解析式.
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，
∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，
即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，
由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.
∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.
命题角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式
例2 (1)设函数f ⎝
⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为(  ) A.1＋x 1－x
(x ≠1)      B.1＋x x －1(x ≠1) C.1－x 1＋x
(x ≠－1)      D.2x x ＋1
(x ≠－1) 答案 C
解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t
(t ≠－1)， ∴f (t )＝1－t 1＋t (t ≠－1)， 即f (x )＝1－x 1＋x
(x ≠－1). (2)若f (2x ＋1)＝6x ＋5，求f (x )的表达式.
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
解 方法一 设2x ＋1＝t ，则x ＝t －12
， ∴f (t )＝6·t －12
＋5＝3t ＋2. ∴f (x )＝3x ＋2.
方法二 f (2x ＋1)＝6x ＋5＝3(2x ＋1)＋2，
∴f (x )＝3x ＋2.
反思感悟 对于形如y ＝f (g (x ))的函数，求y ＝f (x )的解析式，通常用换元法，令t ＝g (x )，从中求出(x ＝φ(t ))，然后代入表达式，求出f (t )即得f (x )的表达式.特别注意：换元法要注意新元的范围.
跟踪训练 (1)若g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2
x 2，则f (x )等于(  ) A.4(1－x )2
＋1(x ≠1)      B.4(1－x )2－1(x ≠1) C.4(1－x )2(x ≠1)      D.2(1－x )2－1(x ≠1)

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