求函数值域的12种方法
函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。下面就函数的值域的求法，举例说如下。
　　一．观察法
  通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
  例1求函数y=3+√(2－3x)　的值域。
  点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)　的值域。
  解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
  故3+√(2－3x)≥3。
  ∴函数的知域为  .
  点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
  本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
  练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）
  二．反函数法
  当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
  例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
  点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
  解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
  点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
  练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）
  三．配方法
  当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
  例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
  点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
  解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4
∈[0，9/4]
  ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
  点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
  练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
  四．判别式法
  若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
  例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
  点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
  解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0        　（＊）
  当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3
  当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
  点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
  练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。
  五．最值法
  对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
  例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
  点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
  解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
  ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
  当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
  ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
  点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
  练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为              　（  ）
  A．（－∞，＋∞）  B．[－7，＋∞]  C．[0，＋∞）  D．[－5，＋∞）
  （答案：D）。
　　六．图象法
  通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
  例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
  点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
  解：原函数化为 －2x+1  (x≤1)
        　y= 3 (-1<x≤2)
            2x-1(x>2)
  它的图象如图所示。
  显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
  点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
  求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
  七．单调法
  利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
  例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
  点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
  解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
  点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
  练习：求函数y=3+√4-x  的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
  八．换元法
  以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
  例2求函数y=x-3+√2x+1　的值域。
  点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
  解：设t=√2x+1　（t≥0）,则
  x=1/2(t2-1)。
  于是  y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
  所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
  点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
  练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
　　九．构造法
  根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
  例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8　的值域。
  点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
  解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
  作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 。
  由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
线时取等号。
  ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
  点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

  练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）
  十．比例法
  对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
  例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
  点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
  解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
  ∴x=3+4k,y=1+3k,
  ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
  当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。
  函数的值域为｛z|z≥1｝.
  点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
  练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
　　十一．利用多项式的除法
  例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
  点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
  解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
  ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
  ∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
  点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
  练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）
　　十二．不等式法
  例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
  点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
  解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
  由对数函数的定义知  x/(1-x)＞0
            　1-x≠0
  解得，0＜x<1。
  ∴函数的值域（0，1）。
函数的定义域怎么算  点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
以下供练习选用：求下列函数的值域
1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）
2．Y=2x/(2x－1)。  （y>1或y<0）

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