○教材·教法○
“函数的奇偶性”一课的教学设计
翟文晓侯毅
（江苏省邗江中学，225002）
一、教材分析
1．教材的内容和地位
“函数的奇偶性”一课是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书（数学）必修1第1章第2节的内容．本节课是在学生已经学习了函数的基本概念及函数的单调性的基础上进行的．学生已经对函数已有了基本的认识，也会对函数的性质和图象进行简单的讨论，在此基础上对函数的奇偶性作简单的认识．2．教学方法
本着在知识发生发展过程中建构知识，在思维活动过程中发展思维能力，在数学探究学习的过程中培养学生的素养的想法，采用了类比函数单调性的研究方法进行函数奇偶性教学．
3．教学重点与难点
重点：形成函数奇偶性的概念．
难点：（1）对函数奇偶性概念本质的认识；
（2）利用函数的奇偶性定义来判断函数奇偶性．
二、教学目标
（1）能从数和形两个角度认识函数奇偶性；
（2）能运用定义判断函数的奇偶性；
（3）通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合、从特殊到一般、类比的数学思想．
三、教学过程设计
1．创设情境，提出问题
师：前面，我们学习了函数的第一个性质：函数的单调性．
问题1我们是如何得到函数单调性的定义的？以单调递增函数为例．
（分组讨论，各组代表发言，教师总结）
第一步：直观感受函数图象在区间I内逐渐升高；
第二步：用自己的语言进行表述：随着x 的变大，y也在变大；
第三步：用数学的语言进行刻画；
第四步：拓展至单调递减函数．
师：这是我们研究函数单调性概念的方法．由形到数，我们建构了函数单调性的概念；由数到形，我们利用函数单调性的定义，通过严谨的代数证明，判断出函数是否具有单调性．
问题2判断函数f（x）=x2和函数f（x）=
1
x
（x≠0）的单调性，并分别在坐标纸上作出它们的图象．（为后面折叠做铺垫）
问题3观察上述两个函数的图象，除了单调性以外，它们还有其他什么特点么？
（学生分组讨论）
生：函数f（x）=x2的图象关于y轴对称；函数f（x）=
1
x
（x≠0）的图象关于原点对称．师：我们今天就来研究函数的第二个性质：函数的奇偶性．（板书标题）
2．意义建构，解决问题
师：我们发现函数f（x）=x2的图象关于y 轴对称，我们把图象关于y轴对称的函数称为偶函数．
问题4我们如何用数学语言来刻画这一几何性质呢？（学生分组讨论）
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13
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第5期高中数学教与学
生：把函数f （x ）=x 2
图象沿着y 轴对折，
y 轴两侧的部分能够完全重合．
师：很好，那是轴对称图形的定义．怎么用数学符号语言来刻画呢？
生：我们可以仿照研究函数单调性的方法，通过对图象上点的研究来刻画这一几何性质．
师：具体说说呢？
生：点沿着y 轴折叠后，点还在图象上．师：怎么刻画点沿着y 轴折叠后还在图象上呢？
生：点沿着y 轴折叠后，点还在图象上，也就是点（x ，
f （x ））关于y 轴对称的点（－x ，f （x ））还在图象上（如图1）
．
师：很好．那请大家来看看点（－x ，f （x ）），什么叫做点（－x ，
f （x ））在图象上呢？生：点（－x ，f （x ））在图象上，就是点的坐标满足函数解析式，也就是f （x ）=f （－x ）．
师：很好，现在我们用数学语言来刻画了一个点关于y 轴对称这一几何性质，那整个函数图象关于y 轴
对称这一几何性质怎么用数学语言刻画呢？
（学生分组讨论）
生：图象上无数个点都满足这一几何性质，图象就对称了．
生：不对，应该是图象上所有的点都满足，图象就对称了．
师：所有的点？一个个去验证工作量太大了．
生：我们可以跟单调性的定义学，用“任意的”代替
“所有的”．师：通过以上的讨论，你们能给出偶函数的定义么？
生：已知函数f （x ），如果对任意的x ，都有f （－x ）=f （x ），那么就称函数f （x ）为偶函数．
师：很好，缺一点东西．x 哪来的呢？生：已知函数f （x ）的定义域为A ，如果对任意的x ∈A ，
都有f （－x ）=f （x ），那么就称函数f （x ）为偶函数．（板书定义）
师：偶函数的图象有什么特征？生：图象关于y 轴对称．
小练习：判断下列命题是否正确：（1）对于定义在Ｒ上的函数f （x ），若f （－2）=f （2），则f （x ）是偶函数．
（2）对于定义在Ｒ上的函数f （x ），若f （－2）≠f （2），则f （x ）不是偶函数．
（3）函数f （x ）=x 2（x ∈［－2，1］），则f （x ）是偶函数．
问题5
偶函数的定义域有什么特点？
生：关于原点对称．（板书）师：我们发现函数f （x ）=
1
x
（x ≠0）图象关于原点中心对称，我们把图象关于原点中心对称的函数称为奇函数．
问题6
你能类比偶函数的定义给出奇
函数的定义么？（学生分组讨论）
生：图象上点（x ，
f （x ））关于原点中心对称的点（－x ，－f （x ））还在图象上，也就是f （－x ）=－f （x ），所以只要把偶函数定义中的f （－x ）=f （x ）换成f （－x ）=－f （x ）即可（如图2）
．
师：请给出完整的定义
生：已知函数f （x ）的定义域为A ，如果对任意的x ∈A ，
都有f （－x ）=－f （x ），那么就称函数f （x ）为奇函数．（板书定义）
师：奇函数的图象有什么特征？生：图象关于原点中心对称．（板书）问题7
奇函数的定义域有什么特点？
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23·高中数学教与学
2019年
生：关于原点对称．（板书）
师：判断一个函数的奇偶性，首先考察它的定义域是否关于原点对称，然后再考察f（－x）和f（x）的关系．如果函数f（x）是奇函数或偶函数，我们就说函数f（x）具有奇偶性，反之则说函数不具有奇偶性．
3．拓展应用，反馈矫正
例1判断下列函数是否为奇函数或偶函数
（1）f（x）=x2－1；（2）f（x）=2x；
（3）f（x）=2|x|；（4）f（x）=（x－1）2．
分析例题中的函数图象学生都已掌握，故可从形和数两个角度进行判断；对于第（4）小题要否定奇偶性可以一对点不满足即可．
例2判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）=x3+5x；
（2）f（x）槡
=x．
分析例题中两个函数学生目前无法画出函数图象，故只能从“数”的角度进行判断；对于第2小题可以先判断定义域是否关于原点对称．
4．归纳反思，总结升华
（1）奇偶函数的定义．
（2）奇偶函数的图形特征．
（3）奇偶函数的判定：一看（看定义域是否关于原点对称）二（f（x）与f（－x）的关系）三判断（判断f（x）的奇偶性）．
四、教学思考
本节课开始复习了研究函数单调性的四个步骤：直观感受函数图象的上升；自然语言的描述；数学语言的刻画；拓展到单调递减函数．接着通过具体函数引发同学们直观感受出偶函数图象的对称性，从形上感受到函数的奇偶性．接着引领学生用自然语言刻画出对称性：图象上的点关于y轴对称后还在图象上．最后采用了“算两次”的办法，得出数学语言对函数奇偶性的严谨刻画，再由类比得出奇函数的定义．
从形上学生发现图象翻折后完全重合后，如何从数上用数学语言来描述函数的奇偶性是本节课的难点．本节课采取“算两次”的方法，从两个不同的角度得出了严格的数学语言．所以在这里让学生小组合作，不断设置小问，引导学生从图象出发，经过观察、分析、抽象的过程逐步掌握函数奇偶性的概念．用函
数奇偶性定义判断函数的奇偶性应该注意判断的三个基本步骤：一看二三判断．把判断过程步骤化，可以形成思维的定势，在学生刚刚接触一个新知识时，思维定势对解题思路也是有帮助的，同时对学生养成一定的思维习惯也是有帮助的．
通过这节课，学生可以再次强化函数性质的研究方法，为后续的性质研究以及具体函数的研究打下了坚实的基础．
在本节课的教学过程中，学生通过具体函数了解函数奇偶性的图象特征，归纳、抽象概括出函数奇偶性的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神，接着通过例题归纳出判断函数奇偶性的方法、步骤及注意点．例题由浅入深，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．
本节课还需要注重以下几个方面：
（1）注重体现基本概念的来龙去脉
在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．
函数的定义域怎么算
（2）注重联系，提高对数学整体性认识
数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．
（3）注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力
在数学教学中，应注重发展学生的应用意识．通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值．帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能用数学．
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第5期高中数学教与学

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