1　指数与指数运算疑点透析
1．如何理解n次方根的概念
若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x＝吗？这个回答是不完整的．正确表示应如下：
x＝
主要性质有：
①当n为奇数时，＝a；
②当n为偶数时，＝|a|＝.
2．如何理解分数指数幂的意义
分数指数幂a不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．规定a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定．
3．分数指数幂和整数指数幂有什么异同
相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br，式中a＞0，b＞0，r、s∈Q，对于这三条性质，不要求证明，但须记准．
不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式．
4．指数幂的运算
在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负
指数．
例1 化简÷.
解　原式＝
＝
＝.
例2 求 的值．
解　原式＝
＝.
例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.
2　解读指数函数的四个难点
盘点了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握．
难点之一：概念
指数函数y＝ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.
例1 给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；
④y＝xx；⑤y＝22x＋1.
以上是指数函数的个数是________．
分析　根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察，是否满足指数函数的定义．
解析　对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①、②、③、④都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．
答案　1
难点之二：讨论
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．
例2 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
分析　遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.
解　当a＞1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝，即a函数的定义域怎么算2＝，所以a＝；当0＜a＜1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依题意得a－a2＝，即a2＝，所以a＝.综上可知，a＝或a＝.
难点之三：复合
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．
例3 求函数y＝的单调递减区间．
分析　指数函数与指数型复合函数的区别在于，指数自变量是x还是x的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．
解　由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．令u＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋，则y＝()，当x∈[－1，]时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的递减区间为[－1，]．
难点之四：图象
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征是：当a＞1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排．当0＜a＜1时恰好相反．
例4 利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．
分析　可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的图象，从图象中得出结果．
解　如图所示，作出y＝0.7x、y＝0.4x及x＝－0.3的图象，
易知0.7－0.3＜0.4－0.3.
评注　图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，这一点应注意．
3　对数与对数运算学习讲解
1．对数的定义
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
解读：(1)由对数定义可以知道，当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN，也就是说指数式与对数式实际上是表示a、N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，＝N，即a的logaN次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式．
2．对数的性质
(1)零和负数没有对数，由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ax＝N(a＞0，且a≠1)中N总是正数；(2)1的对数为0，由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以loga1＝0；(3)底数的对数等于1，由于a1＝a对于任何非零实数都成立，所以logaa＝1.
3．对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；
(2)loga＝logaM－logaN，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；
(3)logaMn＝nlogaM，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中．
例1 将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式：
(1)log3＝－3；(2)log232＝5；
(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.
解　(1)3－3＝；(2)25＝32；(3)log6216＝3；
(4)log100.001＝－3，也可写成lg 0.001＝－3.
评注　本题考查了对数式与指数式的互化．解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数．
例2 求下列各式的值：
(1)3log72－log79＋2log7；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解　(1)原式＝log723－log79＋log7()2
＝log7＝log71＝0；
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(lg 5＋2lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2
＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.
评注　利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性．
4　换底公式的证明及其应用
换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助．
一、换底公式及证明
换底公式：logbN＝.
证明　设logbN＝x，则bx＝N.两边均取以a为底的对数，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.
∴x＝，即logbN＝.
二、换底公式的应用举例
1．乘积型
例1 (1)计算：log89·log2732；
(2)求证：logab·logbc·logcd＝logad.
分析　先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．
解　(1)换为常用对数，得log89·log2732＝·
＝·＝×＝；
(2)由换底公式，得logab·logbc·logcd＝··＝logad.
评注　此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．
2．知值求值型
例2 已知log1227＝a，求log616的值．
分析　本题可选择以3为底进行求解．
解　log1227＝＝a，解得log32＝.
故log616＝＝＝＝.

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