复合函数的性质
文／董裕华
  复合函数是函数知识的综合和拓展，在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识，在国内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现，但现行中学数学教材中没有作出系统研究．本文拟讨论形如ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的复合函数的性质及其应用．
  一、基础知识
  1．定义．设函数ｙ＝ｆ（ｕ），当ｕ∈Ｐ时，ｆ（ｕ）∈Ｑ；ｕ又是ｘ的函数，ｕ＝ｇ（ｘ），当ｘ∈Ｍ时，ｕ∈Ｐ．从集合Ｍ中每一个给定的ｘ，通过Ｐ中唯一的元素ｕ与集合Ｑ中唯一的元素ｙ相对应，则ｙ也是ｘ的函数，称为这两个函数的复函数，记为ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］．其中ｙ＝ｆ（ｕ）叫做复合函数的外函数，ｕ＝ｇ（ｘ）叫做复合函数的内函数，集合M叫做这个复合函数的定义域．
  形如ｆｎ（ｆｎ－1（ｆｎ－2（…ｆ2（ｆ1（ｘ））…）））的函数叫做多重复合函数，它可以看成是函数ｕ＝ｆｎ－i（ｆｎ－i－1（…ｆ2（ｆ1（ｘ））…））与ｙ＝ｆｎ（ｆｎ－1…ｆｎ－i＋1（ｕ）…）的复合函数．
  2．单调性．函数ｕ＝ｇ（ｘ）在集合Ｍ上有定义，ｕ∈Ｐ；ｙ＝ｆ（ｕ）在Ｐ上有定义．如果ｇ（ｘ）在M上递增，ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上也递增（减）；如果ｇ（ｘ）在Ｍ上递减，ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上递减（增）．
  3．奇偶性．如果ｕ＝ｇ（ｘ）为奇函数，ｙ＝ｆ（ｕ）为奇（偶）函数，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为奇（偶）函数；如果ｕ＝ｇ（ｘ）为偶函数，ｙ＝ｆ（ｕ）有意义，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］必为偶函数．
  4．反函数．如果内函数ｕ＝ｇ（ｘ）和外函数ｙ＝ｆ（ｕ）都分别是其定义域到值域上一一对应的函数，那么复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的反函数为ｙ＝ｇ－1［ｆ－1（ｘ）］．证明见文［1］．
  5．周期性．函数ｕ＝ｇ（ｘ）是集合Ｒ上的周期函数，ｕ∈Ｍ；ｆ（ｕ）在Ｍ上有定义，则复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］也是Ｒ上的周期函数．
  内函数为周期函数，复合函数必为周期函数；若外函数为周期函数，复合函数却未必是周期函数．例如1975年加拿大第七届中学生数学竞赛第7题，问ｓｉｎ（ｘ2）是周期函数吗?回答显然是否定的．
  综合复合函数的周期性、单调性、奇偶性，不难发现复合函数还有以下性质：
  6．若内函数ｕ＝ｇ（ｘ）的最小正周期为Ｔ0，ｕ∈Ｄ，外函数ｙ＝ｆ（ｕ）是Ｄ上的单调函数，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］也是最小正周期为Ｔ0的周期函数．
  7．若函数ｆ（ｕ）的最小正周期为Ｔ0，ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ（ａ≠0），则复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］也为周期函数，最小正周期为Ｔ0／｜ａ｜．
  8．若ｇ（ｘ）为奇函数，当ｆ（ｘ）与φ（ｘ）均为偶函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数，2ａ是它的一个周期；当ｆ（ｘ）与φ（ｘ）奇偶性相异时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）也为周期函数，4ａ是它的一个周期．
  9．若ｇ（ｘ）为偶函数，ｆ（ｘ）在Ｒ上有定义，当φ（ｘ）为偶函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数，2ａ是它的一个周期；当φ（ｘ）为奇函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ ≠0）也为周期函数，4ａ是它的一个周期．
  现证明一种情形．ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ）、φ（ｘ）均为偶函数时，由φ（－ｘ）＝ｆ［ｇ（－ｘ＋ａ）］＝ｆ［ｇ（ｘ－ａ）］，又φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］，得ｆ［ｇ（ｘ－ａ）］＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］，即φ（ｘ－2ａ）＝φ（ｘ）．φ（ｘ）为周期函数，2ａ是它的一个周期．
  其余情形类似可证．
  例1　Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ）为二实系数多项式，它们对一切实数ｘ满足恒等式Ｐ［Ｑ（ｘ）］＝Ｑ［Ｐ（ｘ）］，若方程Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）无实数解，证明：方程Ｐ［Ｐ（ｘ）］＝Ｑ［Ｑ（ｘ）］亦无实数解．
  导析：学生观察题目后，容易闪现出一个念头，即设出多项式Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ），但Ｐ［Ｐ（ｘ）］、Ｑ［Ｑ（ｘ）］等难以表示．思维受阻后，学生转而考虑反证法．假设Ｐ［Ｐ（ｘ）］＝Ｑ［Ｑ（ｘ）］有解，设其解为ａ，则由Ｐ［Ｐ（ａ）］＝Ｑ［Ｑ（ａ）］很难确定下一步证题方向，同样无功而返．这时教师可提醒学生：Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）无实数解的实质是什么?学生很快想到Ｐ（ｘ）－Ｑ（ｘ）或者恒为正，或者恒为负．不妨设Ｐ（ｘ）＞Ｑ（ｘ），由此Ｐ［Ｐ（ｘ）］＞Ｑ［Ｐ（ｘ）］，Ｐ［Ｑ（ｘ）］＞Ｑ［Ｑ（ｘ）］．又Ｐ［Ｑ（ｘ）］＝Ｑ［Ｐ（ｘ）］，得Ｐ［Ｐ（ｘ）］＞Ｑ［Ｑ（ｘ）］．
  这已是学生熟悉的问题，可由学生整理完成．
  例2　已知ｆ（ｘ＋1）＝｜ｘ－1｜－｜ｘ＋1｜，如果ｆ［ｆ（ａ）］＝ｆ（1993）＋1，求ａ．
  导析：从条件看，多数同学会想到ｆ（1993）＝ｆ（1992＋1）＝－2，由此ｆ（ａ）＝｜ａ－2｜－｜ａ｜，ｆ［ｆ（ａ）］＝｜｜ａ－2｜－｜ａ｜－2｜－｜｜ａ－2｜－｜ａ｜｜．现在要去掉绝对值符号，就非常困难了．教师适时引导学生：如果先去绝对值符号呢?
ｆ（ｘ）＝｜ｘ－2｜－｜ｘ｜= 
 由于ｆ［ｆ（ａ）］＝ｆ（1 993）＋1＝－2＋1＝－1，学生便会想到此时0≤ｆ（ａ）≤2，从而2－2ｆ（ａ）＝－1，ａ＝1／4．
  例3函数ｆ（ｘ）在Ｒ上有定义，且满足：①ｆ（ｘ）是偶函数，ｆ（0）＝993；②ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ－1）是奇函数．试求ｆ（1992）的值．
  导析：学生很容易想到ｆ（1992）＝ｇ（1993）＝－ｇ（－1993）＝－ｆ（1994）．本来求ｆ（1992）就很烦，化成ｆ（1994）更显繁，不少学生畏难而退．能否出函数变化规律呢?也就是说把数据一般化，能否证得ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ＋2）呢?学生会恍然大悟，ｆ（ｘ）是周期为4的函数!至此思路已经畅通．
  由特殊到一般，再由一般到特殊，这是人类认识世界、改造世界的规律，也是解竞赛题的常用策略．本题也可直接用基础知识8，只要令φ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（ｘ）＝ｇ［φ（ｘ＋1）］即可求解．
  二、综合应用
  复合函数是单一函数的整合与拓展，它以代数式、数列、几何等知识为支撑，以方程、不等式等形式为载体，以函数的性质为纽带，加之应用广泛，在竞赛命题中自然就颇受青睐．复合函数问题常通过换元法、待定系数法、特殊值法变形求解，与自然数有关的命题也可通过数学归纳法获证．
  例4是否存在函数ｆ∶Ｒ→Ｒ；ｇ∶Ｒ→Ｒ，使得对所有的ｘ∈Ｒ，都有ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ2，ｇ［ｆ（ｘ）］＝ｘ3？
  导析：既然对所有ｘ∈Ｒ，都有这两个函数关系，学生首先想到用特殊值去验证．根据本题特点选择0和1，得ｆ［ｇ（0）］＝0，ｇ［ｆ（0）］＝0；ｆ［ｇ（1）］＝1，ｇ［ｆ（1）］＝1．现在问题转化为要求ｆ（0）、ｆ（1）、ｇ（0）、ｇ（1）．经过一番“折腾”，学生摸索出ｆ（0）＝ｆ｛ｇ［ｆ（0）］｝＝［ｆ（0）］2，ｆ（1）＝ｆ｛ｇ［ｆ（1）］｝＝［ｆ（1）］2．那么ｆ（0）究竟等于0还是1?ｆ（1）又等于几?ｆ（ｘ）表达式又是什么?这时学生能够推得ｆ（ｘ3）＝ｆ｛ｇ［ｆ（ｘ）］｝＝［ｆ（ｘ）］2，这是一个一般性结论，学生还能观察出ｆ（－1）＝［ｆ（－1）］2．这样ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）的值都只能在0和1中选择，因此ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）至少有两个相等，究竟又是哪两个相等呢?
  正当“山穷水尽”之时，再揣摩一下题目中的“是否存在”，这是不是意味着上述结论不一定成立?至此问题的解决进入最后阶段，由于ｇ［ｆ（0）］、ｇ［ｆ（1）］、ｇ［ｆ（－1）］不等，故ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）也互不相等．更一般地，对于任意ｘ1≠ｘ2，ｆ（ｘ1）≠ｆ（ｘ2），因此满足条件的函数关系不存在．
  例5确定所有的函数ｆ：Ｒ→Ｒ，其中Ｒ是实数集，使得对任意ｘ，ｙ∈Ｒ，恒有ｆ［ｘ－ｆ（ｙ）］＝ｆ［ｆ（ｙ）］＋ｘｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）－1成立．（1999年第四十届IMO试题）
  导析：和上题一样，先用特殊值代入验算．学生自然先考虑ｘ＝ｙ＝0的情形．得出ｆ［－ｆ（0）］＝ｆ［ｆ（0）］＋ｆ（0）－1．ｆ（0）的值又如何求呢?学生仍然会考虑特殊情况，再令ｘ＝ｆ（ｙ），得ｆ（0）＝2ｆ（ｘ）＋ｘ2－1，从而ｆ（0）＝1．容易验证ｆ（ｘ）＝1－ｘ2／2符合题意．
  这是从特殊情形推出的结果，现在还需要解决的问题是有没有满足条件的其他函数?不妨设函数ｆ像的集合为Ａ．我们的目标是求ｆ（ｘ）表达式．令ｙ＝0，则ｆ（0）∈Ａ且为常数，记为ｍ，则ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）可以表示为ｘ的一次函数：ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｆ（ｍ）－1．也就是说对任意ｘ∈Ｒ，ｍｘ＋ｆ（ｍ）－1∈Ｒ，ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）∈Ｒ．换句话讲对任意ｘ∈Ｒ，都存在ｙ1，ｙ2∈Ａ，使得ｘ＝ｙ1－ｙ2．因此ｆ（ｘ）＝ｆ（ｙ1－ｙ2）＝ｆ（ｙ1）＋ｆ（ｙ2）＋ｙ1ｙ2－1．①那么ｆ（ｙ1）、ｆ（ｙ2）又如何表示?由上述分析知只要令ｘ＝ｆ（ｙ），便得ｆ（ｘ）＝（－ｘ2＋ｍ＋1）／2．② 把ｆ（ｙ1）、ｆ（ｙ2）表达式代入①，即可求得ｆ（ｘ）＝ｍ－ｘ2／2．再令ｘ＝0，则ｍ＝1．从而对任意ｘ∈Ｒ，都有ｆ（ｘ）＝1－ｘ2／2．
  例6设ｎ为自然数集合，ｋ∈Ｎ，如果有一个函数ｆ：Ｎ→Ｎ是严格递增的，且对于每一个ｎ∈Ｎ，都有ｆ［ｆ（ｎ）］＝ｋｎ．求证：对每一个ｎ∈Ｎ，都有2ｋｎ／（ｋ＋1）≤ｆ（ｎ）≤（ｋ＋1）ｎ／2．
  导析：条件是关于复合函数的等式，结论却是关于ｆ（ｘ）的不等式，学生首先能考虑寻ｆ（ｎ）与ｆ［ｆ（ｎ）］之间的关系．
  由已知，ｆ（ｎ）≥ｎ，则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ）≥ｎ，故ｋ≥1，而2ｋｎ／（ｋ＋1）＝ｎ／（1／2＋1／2ｋ）≥ｎ，这对证题没有帮助．再回到已知“ｆ严格递增且取自然数值”，就是说ｆ（ｎ＋1）≥ｆ（ｎ）＋1，进而对任意ｍ∈Ｎ，都有ｆ（ｎ＋ｍ）≥ｆ（ｎ）＋ｍ．既然ｆ（ｎ）≥ｎ，不妨设ｆ（ｎ）＝ｎ＋ｍ（ｍ是非负整数），则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ）＋ｍ＝ｆ（ｎ）＋ｆ（ｎ）－ｎ，从而ｆ（ｎ）≤（ｋ＋1）ｎ／2．
  对于左式，实质是要证明ｆ［ｆ（ｎ）］≤（ｋ＋1）ｆ（ｎ）／2，这已是水到渠成的事情．
  本题多次运用换元思想，进行“换位思考”，这也是解复合函数竞赛试题的常用手段．
  例7设ｆ（ｎ）为一个在所有正整数集合Ｎ上有定义且在Ｎ上取值的函数．证明：如果对每一个ｎ，ｆ（ｎ＋1）＞ｆ［ｆ（ｎ）］，则对每一个ｎ，ｆ（ｎ）＝ｎ．
  导析：本题和上题恰好相反，是由不等关系推相等关系．根据所求，学生较易想到的是反证法．假设ｆ（ｎ）≠ｎ，不妨先考虑ｆ（ｎ）＞ｎ的情形，得ｆ［ｆ（ｎ）］＞ｆ（ｎ），而ｆ（ｎ＋1）≥ｆ（ｎ）＋1，至此已别无它法．
  调整思路，比较本题和上题，上题已知ｆ是Ｎ→Ｎ上严格增函数，本题结论函数ｆ也是单调增函数．所以可以尝试先证明ｍ≥ｎ时，ｆ（ｍ）≥ｆ（ｎ）．由于是与自然数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明．当ｎ＝1时，ｆ（2）＞ｆ［ｆ（1）］，而ｆ［ｆ（1）］≥ｆ（1）又怎么证?这又回到上面老路上．
  退一步讲，对任意ｍ≥ｎ，欲证ｆ（ｍ）≥ｆ（ｎ）比较困难，能否证得ｆ（ｍ）≥ｎ？事实上如果证得ｆ（ｍ）≥ｎ，则ｆ（ｎ）≥ｎ也必定成立，这离ｆ（ｎ）＝ｎ反而更接近．当ｎ＝1时结论显然成立．设ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ）时结论成立，即ｍ≥ｋ时，ｆ（ｍ）≥ｋ．则当ｎ＝ｋ＋1，即ｍ≥ｋ＋1时，ｍ－1≥ｋ，ｆ（ｍ－1）≥ｋ，从而ｆ（ｍ）＞ｆ［ｆ（ｍ－1）］≥ｋ．由于ｆ（ｍ）取值为正整数，因此ｆ（ｍ）≥ｋ＋1，命题成立．
  这样ｆ（ｎ）≥ｎ．现在证明ｆ（ｎ）＞ｎ不可能．若ｆ（ｎ）＞ｎ，即ｆ（ｎ）≥ｎ＋1，则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ＋1），这与已知矛盾．
  接下来，就由学生对上述思路进行梳理、整合．
  三、强化训练
  1．若＝ｘ，求Ｆ（ｘ）．
  2．已知ｆ（ｘ）＝｜1－2ｘ｜，ｘ∈［0，1］，求方程ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝＝（1／2）ｘ的解的个数．
  3．若ａ＞0，ａ≠1，Ｆ（ｘ）为Ｒ上的奇函数，判定函数Ｇ（ｘ）＝的奇偶性．
  4．设ｆ（ｘ）＝（1＋ｘ）／（1－3ｘ），ｆ1（ｘ）＝ｆ［ｆ（ｘ）］，ｆ2（ｘ）＝ｆ［ｆ1（ｘ）］，…，ｆn（ｘ）＝ｆ［ｆn－1（ｘ）］，…，求ｆ1991（4．7）．
  5．设ｙ＝ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的函数，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ，都有ｆ［ａｆ（ｂ）］＝ａｂ，求ｆ（2000）．
  6．设ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的函数，Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝ｘ｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｘ｝．（1）求证ＭＮ；（2）若ｆ（ｘ）在Ｒ上是增函数，判断Ｍ＝Ｎ是否成立，并证明你的结论．
  7．全体正整数集是两个不相交子集｛ｆ（1），ｆ（2），…，ｆ（ｎ），…｝与｛ｇ（1），ｇ（2），…，ｇ（ｎ），…｝的并集，其中ｆ（1）＜ｆ（2）＜…＜ｆ（ｎ）＜…，ｇ（1函数的定义域怎么算）＜ｇ（2）＜…＜ｇ（ｎ）＜…，且对于所有ｎ＞1，有ｇ（ｎ）＝ｆ［ｆ（ｎ）］＋1，求ｆ（240）．
  参考答案与提示
  1．（1－ｘ）／（1＋ｘ）．提示：用换元法．
  2．8个．提示：分类讨论．先分两类：ｆ（ｘ）＝对于ｆ［ｆ（ｘ）］，也可类似分成四个区间讨论，因为ｆ（ｘ）在上述两区间值域仍为［0，1］．至于ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝要分八个区间分别求解．
  3．奇函数．提示：可先证明是奇函数．
  4．4．7．提示：由ｆ1（ｘ）＝（ｘ－1）／（3ｘ＋1），ｆ2（ｘ）＝ｘ，ｆ3（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ4（ｘ）＝ｆ1（ｘ），由此可以类推，归纳出规律，ｆ3ｍ＋k（ｘ）＝ｆk（ｘ）（ｍ，），从而ｆ1991（4．7）＝ｆ3×663＋2（4．7）＝ｆ2（4．7）＝4．7．
  5．±2000．提示：用特殊值法．先令ａ＝1，得ｆ［ｆ（ｂ）］＝ｂ；再令ａ＝ｆ（ｂ），得ｆ［ｆ2（ｂ）］＝ｂｆ（ｂ）．而ｆ［ｂｆ（ｂ）］＝ｂ2＝ｆ｛ｆ［ｆ2（ｂ）］｝＝ｆ2（ｂ），故｜ｆ（ｂ）｜＝｜ｂ｜．
  6．（1）对任一ｘ∈Ｍ，ｆ（ｘ）＝ｘ，于是ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｆ（ｘ）＝ｘ，即ｘ∈Ｎ，故ＭＮ．（2）成立．设ｆ（ｘ）为增函数，若ｘＭ，则ｆ（ｘ）＞ｘ或ｆ（ｘ）＜ｘ；前者导出ｆ［ｆ（ｘ）］＞ｆ（ｘ）＞ｘ，后者导出ｆ［ｆ（ｘ）］＜ｆ（ｘ）＜ｘ，故总有ｘＮ，因此ＮＭ．结合（1），Ｍ＝Ｎ．
  7．388．解答见文［2］．
  参考文献
  1．甘大旺．复合函数的反函数．中学数学，2000，2
  2．单土尊．数学奥林匹克题典．南京：南京大学出版社，1995（本期“高中竞赛初级讲座”特邀编辑　刘康宁）

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