博途教育学科教师辅导讲义(一）
学员姓名: 年 级：高 一 日期： 辅导科目：数 学 学科教师：刘云丰 时间： | ||||||||||||||||||||
课 题 | 指数函数 | |||||||||||||||||||
授课日期 | ||||||||||||||||||||
教学目标 | 1、理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算，理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算； 2、掌握指数函数的概念、图像和性质。 | |||||||||||||||||||
教学内容 | ||||||||||||||||||||
指数函数 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：分数指数幂和根式概念的理解. 掌握并运用分数指数幂的运算性质. 运用有理指数幂性质进行化简、求值. 指数函数的概念、图象和性质. ◆教学难点：分数指数幂及根式概念的理解. 有理指数幂性质的灵活应用. 对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质. 〖教学过程〗 [来源:Zxxk.Com] 一、指数与指数幂的运算 （一）创设情景,引入新课（预计5分钟） 1：问题情景 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001~2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍 2：学生根据已有的经验和知识独立探究，教师巡视，进行个别指导 3：老师在黑板上列出第一年到第四年，引导学生观察，比较，概括，并同学说明自己的想法。 4：引入新课。 （二）复习整数指数幂 指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。 ．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出 及 ，同时追问这里 的由来。最后用幻灯片打出整数指数幂的意义和性质 1.整数指数幂：an=a·a·a···a (n∈N+) a0=1(a≠0); a-n=1/an(a≠0, n∈N+) 2.整数指数幂有下面运算性质： （三）层层递进，探索新知（预计25分钟） 1：由简单的根式入手，讲解并探索N次方根的形式 2：让学生留意正负号的区别。 函数的定义域怎么算 的 次方根的取值规律： 先让学生看到 的 次方根的个数是由 的奇偶性决定的，所以应对 分奇偶情况讨论 当 为奇数时，再问学生 的 次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对 的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按 的正负分为三种情况． Ⅰ当 为奇数时 a>0时 ， 的 次方根为一个正数; a<0时 ， 的 次方根为一个负数; a=0时 ， 的 次方根为零． 当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明 为偶数时的结论，再由学生总结归纳 Ⅱ当 为偶数时 a>0时 ， 的 次方根为两个互为相反数的数; a<0时 ， 的 次方根不存在; a＝0时 ， 的 次方根为零． 对于这个规律的总结，还可以先看 的正负，再分 的奇偶，换个角度加深理解． 注意点：0的任何次方根都是０ 3：基本练习，加深对概念的理解（幻灯片展示） 求下列各式的值 评讲练习，强化对根式运算的应用与理解 4：分数指数幂 让学生思考：当根式有意义时,根式能否写成指数幂的形式？如： （a>0,b>0,c>0) 让学生探索并得到更广泛的情况： 即得到正数的正分数指数幂的形式。 正数的负分数指数幂的意义是： 联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q) (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q) (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0, r,∈Q) 课堂练习：判断题（幻灯片展示） （ ） 八名同学上前面作答，其他同学在下面做 讲评练习，强调学生易错的地方 （四）小结（预计15分钟） 引导学生按下面的思路进行小结 1：这堂课的主要内容是什么？ 2：做指数运算时有什么需要注意的地方？ 这节课我们学习了指数幂的定义，性质以及一些运算。在学习中，我们应当逐步深入，领悟从整数到根式再到分数的导出过程，理解由特殊到一般的研究方 法，在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。 （一）创设情景、提出问题(约3分钟) 师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？ 学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。 师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？ 【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目】 师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？ 教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。 师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨。这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！ 【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。】 在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用表示，每位同学的座号数用表示，与之间的关系分别是什么？ 学生很容易得出y=2x（）和（） 【学情预设：学生可能会漏掉的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中的范围。】 （二）师生互动、探究新知 1．指数函数的定义 师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与类似的关系式（） ⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约3分钟） ①（）和（）这两个解析式有什么共同特征？ ②它们能否构成函数？ ③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现，是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 师：如果可以用字母代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。 ⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。（约6分钟） 对于底数的分类，可将问题分解为： ①若会有什么问题？（如，则在实数范围内相应的函数值不存在） ②若 会有什么问题？（对于 ，都无意义） ③若 又会怎么样？（无论 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定 且 . 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。 【学情预设： ①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求；为什么不行？ ②若学生只给出，教师可以引导学生通过类比一次函数（）、反比例函数（）、二次函数（）中的限制条件， 思考指数函数中底数的限制条件。】 【设计意图 ：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值； ②讨论出，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如，，。 【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其它的。】 【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】 2．指数函数性质 ⑴提出两个问题（约3分钟） ①目前研究函数一般可以包括哪些方面； 【设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。】 ②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？ 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手（即底数取一些数值）；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。 【设计意图：①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)不同的角度对函数进行研究； ②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。】 ⑵分组活动，合作学习（约8分钟） 师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。 ①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数； ②每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）； ③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。 【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导。】 【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解。】 ⑶交流、总结（约10～12分钟） 师：下面我们开一个成果展示会! 教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。 教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其它性质？ 师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？（如过定点（0，1），与的图象关于y轴对称） 【学情预设： ①首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报； ②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报； ③问其它小组有没不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化。】 【设计意图： ①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。 ②让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养； ③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。】 师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1），但定义域、值域却不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。 教师通过几何画板中改变参数的值，追踪的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。 师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。
（三）巩固训练、提升总结（约8分钟） 1．例：已知指数函数的图象经过点，求的值。 解：因为的图象经过点，所以 即，解得，于是。 所以。 【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】 师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？ 师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了。 【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。】 2．练习：⑴在同一平面直角坐标系中画出和的大致图象，并说出这两个函数的性质； ⑵求下列函数的定义域：①，②。 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？ 【学情预设：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】 【设计意图：①让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 ②总结本节课中所用到的数学思想方法。 ③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。】 （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞分裂的个数 y与 x之间,构成一个函数关系,能写出 x与 y之间的函数关系式吗？ 学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝2x。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。 学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 问题：指数函数定义中，为什么规定“”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于,无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定且 . 练1：指出下列函数那些是指数函数： 练2：若函数是指数函数，则a=------ 2．指数函数的图像及性质 在同一平面直角坐标系内画出指数函数与的图象（画图步骤：列表、描点、连线）。由学生自己画出与的函数图象 然后，通过两组图象教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。 特别地，函数值的分布情况如下： （四）巩固与练习 例1： 比较下列各题中两值的大小 教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。 （1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。 （5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。 （6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。 例2：已知下列不等式 , 比较m,n的大小 : 设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。 例1：（P66 例6）已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求 分析：要求再把0，1，3分别代入，即可求得 提问：要求出指数函数，需要几个条件？ 课堂练习：P68 练习：第1，2，3题 补充练习：1、函数 2、当 解（1） （2）（－，１） 例2：求下列函数的定义域： （1） （2） 分析：类为的定义域是R，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 . | ||||||||||||||||||||
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