任意角的三角函数
教学目标
1.使学生切实掌握任意角三角函数的定义.
2.使学生掌握三角函数的定义域及其确定方法.
3.使学生掌握三角函数值在各个象限内的符号.
4.使学生掌握诱导公式一.
教学重点与难点
教学难点为：任意角三角函数的定义.教学重点为：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一.
教学过程设计
师：我们学过锐角的正弦、余弦、正切、余切中，∠A是锐角，∠C是直角，那么(板书)
师：经过最近几节课的学习，我们知道角的概念已经被推广了，我们现在所说的角可以任意大小的正角、负角和零角，那么任意的三角函数是怎么定义的呢?直角三角形显然不能包含所有的角.
生：借助平面直角坐标系来定义.
师：好的.这位同学可能预习了.任意角三角函数就是在平面直角坐标系内定义的.
设角α是一个任意大小的角，我们以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的正半轴Ox，建立直角坐标系(图2)，在角α的终边任取一点P，它的横坐标是x,纵坐标是y,点P和原点O(0，0)的距离r= (r总是正的)，然后把角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别规定为(板书)
               
师：以前我们就知道，图1中的四个比值的大小仅与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关；同样，在图2中，六个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角αα的终边上的位置无关.
师：下面咱们一起来看这六个三角函数，自变量是什么?是x?是y？是r?还是角a?大家讨论一下.
生：……
师：通过大家的讨论，咱们可以看出，只要角α确定了，就能在它的终边上取点，从而可确定x，y，计算出r的值，所以自变量应是角α.
这些函数的函数值是什么呢?
生：两个量的比值.
师：也就是说是个实数.
由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函
数，即
          实数→    角(其弧度数等于这个实数) → 三角函数值(实数)
也就是说，三角函数是以角(实数)为自变量，以比值为函数值的函数.
既然是研究函数，那么就要从函数最主要的内容——三要素入手，而其中又以定义域和对应法则更重要，三角函数的对应法则我们可以由解析式中直接看出.下面我们研究各个函数的定义域.
(这几函数的定义域并不难求，只是务必使学生明确，函数的自变量是角.定义域由学生一一做答，教师最后在黑板上列表总结.)
       
        师：我们已经知道了三角函数的定义，下面我们就该应用定义解题了.请看例1.(板书)
例1  已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的六个三角函数值.
师：要求六个三角函数值，我们需要知道哪些量?
生：x,y,r.
师：我们是必须知道这三个量，还是知道其中两个量就行了?
生：只需知道其中的两个量.
师：例1中是否有咱们所需要的两个量?
生：有.x=2,y=－3.
师：好的.这道题就由你来解，你说我往黑板上写.(板书)
解   
师：由三角函数的定义，我们知道，已知角α终边上一点的坐标就可以求六个三角函数值，若已知条件是某角的度数或弧度数，那么这个角的终边位置也是唯一确定的，其三角函数值也应是唯一的.这类题目应怎样求它的各个三角函数值呢?下面看例2.(板书)
例2    求下例各角的六个三角函数值.
     
师：咱们先看角0的六个三角函数值怎么求.
生：没想好.
师：你觉得为什么不好求呢?
生：题目里没给出x,y的值.
师：x,y的值与所给出的角有什么关系?
生：x,y是角的终边上一点的坐标.
师：角的终边上的哪点?
生：可以任意选取.
师：那当然要使所取点的坐越简单越好了，你打算取哪点?
生：取(1，0)点.
师：现在这道题目你会做了吗?
生：会了.
师：你说我来写在黑板上.(板书)
解    在角0的终边上取一点(1，0)，所以x=1,y=0,r=x2+y2=1因此
       
师：这道从题会做了，下面的两道小题也就不成问题了.大家都在笔记本上准备一下，一会儿，我叫几个同学说一下你们的答案.
(2)在角π的终边上任取一点(－1，0)，x=－1,y=0,r=1,sin π=0,cos=-1,tan π=0　cot πα不存在，sce π=－1 ,csc πα不存在；
(3)在角的终边上任取一点(0，－1)，x=0,y=－1,r=1,sin =－1,cos=0,tan不存在，cot=0,sec不存在，csc=－1.
师：下一个问题是确定一下各三角函数值在每个象限的符号.
我们知道，当角的概念被推广后，我们常常把角放到平面直角坐标系中讨论，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上时，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.现在，我们又学习了三角函数，若一类三角函数值在同一个象限的符号是一致的，那我们既可以根据角所在象限确定出相应的三角函数的符号，又可以利用三角函数的符号确定出角所在的象限了.
下面咱们先看正弦函数的函数值在各个限内的符号.(请好学生回答)
生：对于sin α，当角α在第一象限内时，它的符号是正的，当角α在第二象限时，……
师：等等，你所说的第一条结论正确，你能不能把你的解题方法具体地告诉我们?(尽量突出这节课的主要内容.)函数的定义域怎么算
生：根据三角函数的定义，sin α=，当角a是第一象限角时，也就是说，角α的终边落在第一象限内，而第一象限内的点的坐标都是正的，所以sin α＞0.
师：解题思路非常清楚，就是下结论前的叙述显得有点匆忙，不够确切.咱们看这样说是不是更好些?前边的就用他的说法，接着说，第一象限内的点的纵坐标都为正数，也就是y＞0,而r=，也一定大于零，所以得出结论，sin α＞0，符号为“+”.
师：这个结论一经推出，其余问题我们也就都会解决了.下面我们再把角落在第二、第三、四象限内，将正弦函数的函数值的符号确定一下.
生：正弦函数sin α=yr，当角a在第二象限时，sin α的符号为“+”；当角α在第三象限时，sin α的符号为“－”；当角α在第四象时，sin α的符号也为“－”.

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。