1.2.3 同角三角函数的基本关系式
教学分析    　
与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，是按照一切从定义出发的原则进行的，通过对基本关系的推导，应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成，学会通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．
同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，至于角的表达形式是至关重要的，如sin24π＋cos24π＝1等；二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ＋，k∈Z.
已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种，解题时产生遗漏
的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根．
注意本节内容的把握，同角三角函数的基本关系式较多，但只有正、余弦的平方和等于1与正切和正弦、余弦的关系式最为重要，其他关系式，可以作为练习，让学生通过这两个关系式证明，但不要求记忆．
本节内容与以往教材的不同点是，在讲求三角函数值的例题时，贯彻解方程组的通法．不过，这里的未知数是正弦、余弦或正切．
三维目标    　
1．掌握并牢记两个基本关系式．
2．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．
3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．
重点难点    　
教学重点：课本的两个公式的推导及应用．
教学难点：课本的两个公式的推导及应用．
课时安排    　
1课时
导入新课    　
思路1.(猜想引入)引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，然后教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值：
(1)sin290°＋cos290°；(2)sin230°＋cos230°；(3)；(4).
思路2.(复习引入)教师引导学生回顾前面所学三角函数定义，单位圆等内容，让学生写出sin2α＋cos2α＝1及观察出正切和正弦、余弦的关系．学生很容易完成以上问题，由此自然地引入新课．
推进新课    　
(1)以下两个等式中的角是否都可以是任意角？若不能，角α应受什么影响？
如图1，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，而且OP＝1.
图1
由勾股定理，得OM2＋MP2＝1.
因此x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1(等式1)．
显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．
根据三角函数的定义，当α≠kπ＋，k∈Z时，有
＝tanα(等式2)．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
(2)对于同一个角的正弦、余弦、正切，至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值．
活动：问题(1)先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系，然后教师点拨学生思考这两个公式的用处．同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件，及使等式分别有意义的角的取值范围．
问题(2)可让学生展开讨论，点拨学生从方程(或方程组)的角度进行探究，对思考正确的学生给予鼓励，对没有思路的学生教师点拨其思考的方法，最后得出结论“知一求二”．
教师板书以上两个公式，并指出这两个关系式是三角函数两个最基本的关系式．当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数的定义，就可以求出这个角的其余三角函数值．此外，还可以用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．
讨论结果：
(1)在上述两个等式中，不是所有的角都可以是任意角，在第一个等式中，α可以是任意角，在第二个等式中α≠kπ＋，k∈Z.
(2)在上述两个等式中，只要知道其中任意一个，就可以求出其余的两个．知道正弦(余弦)，就可以先求出余弦(正弦)，用等式1，进而用等式2求出正切．
思路1
例 1  已知sinα＝，并且α是第二象限的角，求角α的余弦值和正切值．
活动：同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握，先让学生接触比较简单的应用问题．可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin2α＋cos2α＝1，故cosα的值最容易求得，在求cosα时需要进行开平方运算，因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号，在此基础上教师指导学生独立地完成此题．
解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝，得cosα＝±.
又因为α是第二象限角，所以cosα<0.于是cosα＝－，
从而tanα＝＝×(－)＝－.
点评：本题是直接应用关系求解三角函数值的问题，属于比较简单和直接的问题，让学生体会关系式的用法．应使学生清楚tanα＝－中的负号是来自α为第二象限角，这也是根据商数关系直接运算后的结果，它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定.
变式训练  已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．
活动：启发学生思考仅有cosα<0是不能确定角α的终边所在的象限，它可能在x轴的负半轴上(这时cosα＝－1)．
解：因为cosα<0，且cosα≠－1，
所以α是第二或第三象限角．
如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，
tanα＝＝×(－)＝－，
如果α是第三象限角，那么sinα＝－，tanα＝.
例 2  已知sinα－cosα＝－，180°<α<270°，求tanα的值．
解：依题意，得到方程组
消去sinα，得5cos2α－cosα－2＝0，
解得cosα＝或cosα＝－.
因为180°<α<270°，cosα<0，所以cosα＝－(把cosα＝舍去)．
代入原方程组，得sinα＝－.于是tanα＝＝2.
例 3  化简.
活动：让学生明确，化简是三角函数的重要题型，要求结果化为最简，在练习中体会最简的含义．同时三角函数基本关系式的重要应用就是化简三角函数关系式．
解：原式＝＝＝cosθ.
点评：在三角函数关系式的化简中，常用到“切化弦”.函数的定义域怎么算
变式训练
1．(tanx＋cotx)cos2x等于(  )
A．tanx    B．sinx    C．cosx    D．cotx
【答案】D
2．若cosα＋2sinα＝－，则tanα等于(  )
A.                    B.2 
C.－                  D.－2
【答案】B
例 4  求证：
(1)sin4α－cos4α＝2sin2α－1；
(2)tan2α－sin2α＝tan2αsin2α.
活动：教师引导学生探究三角函数关系式的证明思路．通过师生合作探究，我们得到：证明一个三角恒等式，可以从它的任意一边开始，推出它等于另一边；也可以用作差法，证明等式两边之差等于零；还可以先证得另一个等式成立，并由此推出需要证明的等式成立．
证明：(1)原式左边＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝右边．
因此sin4α－cos4α＝2sin2α－1.
(2)原式右边＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－tan2αcos2α
＝tan2α－·cos2α＝tan2α－sin2α＝左边．
因此tan2α－sin2α＝tan2αsin2α.
思路2
例 1  已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα、cosα.
活动：引导学生思考讨论：角的终边在什么位置；能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值．由tanα≠0，只能确定α的终边不在坐标轴上．关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα＝，在这个式子中必须知道其中两个三角函数值，才能求出第三个，因此像这类问题的求解，不能一步到位，需要公式的综合应用．其步骤是：先根据条件判断角的终边的位置，讨论出现的所有情况．然后根据讨论的结果，利用基本关系式求解．分情况求出cosα，进而求出sinα.

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