不定积分计算中函数定义域变化的归类分析
作者：吴维峰
来源：《教育教学论坛》 2014年第41期
    吴维峰
    （潍坊工程职业学院，山东青州262500）
    摘要：本文结合不定积分的计算，对变形前后函数定义域的变化进行了分析，并归结为三种类型，给出了改进的措施，对保证不定积分计算的正确性、提高教学质量，有重要的作用。
    关键词：不定积分；变形；定义域；归类分析
    中图分类号：O172 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）41-0117-02
    1 引言
    不定积分的计算，往往需要对被积表达式进行相应的变形。但是，如果不注意变形的恒等性，则会引起变形前后被积函数定义域的变化，从而使计算出现错误。下边结合具体实例，对不定积分变形中函数定义
域的前后变化情况做如下的分析与归类，给出了教学中的改进措施，以确保不定积分计算的正确性。
    2 使用有关微分公式导致函数定义域的变化
   
   
   
    改进措施：这类错误由于忽视了有关公式的成立条件，导致原函数的定义域与被积函数的定义域在个别点处发生了变化，这时，对求得的原函数进行适当延拓或限制即可。
    3 使用恒等变形导致函数定义域的变化
   
    求解分析：被积函数的定义域是x＜-2或x＞0，但变形中的第一个等号却是在x＞0时成立，忽略了x＜-2时的情况，结果欠妥。
   
    这样的例子还很多，在此不一一列举。
    改进措施：这类错误的产生，是因为在恒等变形中，忽视了变形的恒等性（不是真正的恒等），导致被积函数的定义域在某个区间内发生了变化。这时，除了对函数的定义域进行全面的讨论外，还要注意使用的变形是不是真正的恒等变形，使变形前后被积函数的定义域保持一致，亦可采取其他的方法进行求解。
    4 使用变量替换导致函数定义域的变化
   
函数的定义域怎么算
   
   
    改进措施：这类错误是由于在对不定积分进行变量替换变形时，忽略了新旧变量间取值范围的一致性，导致了变形前后函数定义域发生了变化。为此，在使用换元法进行变量替换时，一定要注意对使用的变量替换做分析，使得替换前后的定义域完全相同，出现扩大就需要进行适当的限制，出现缩小要进行相应的延展，保证变量替换及变形中新旧变量取值的前后一致性，进而保证变形前后被积函数的定义域不发生变化。
    参考文献：
    [1]吴维峰.高等数学[M].北京：中国轻工业出版社，2013：28-33.
    [2]吴维峰.对不定积分的一题多解的分析[J].高等数学研究，2010，13（6）：11-12.
    [3]樊映川，等.高等数学讲义（上册）[M].北京：高等教育出版社，1980：372.
    [4]盛祥耀.高等数学辅导[M].北京：清华大学出版社，1994：298.
    作者简介：吴维峰（1963-），男（汉族），潍坊工程职业学院副教授，主要从事高等数学的教学与研究。

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