指数函数和对数函数
重点、难点：
重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x
x
a ==，l o g 在a >1及01<<a 两种不同情况。  1、指数函数：
定义：函数()
y aa a x
=>≠01且叫指数函数。
定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。  为什么要求函数y a
x
对数函数运算法则公式
=中的a 必须a a >≠01
且。  因为若a <0时，()y x
=-4，当x =
1
4
时，函数值不存在。  a =0
，y x
=0，当x ≤0，函数值不存在。
a =1时，y x
=1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但
y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x
=中的
a a >≠01
且。
1、对三个指数函数y y y x x
x
==⎛⎝ ⎫⎭
⎪=21210，，
的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x
>0； （2）图象都经过点（0，1）；
（2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1；
（3）y
y x
x
==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪12的图象正好相反；
（3）当a >1时，x a x a x x
>><<⎧⎨⎪⎩⎪0101，
则，则    当01<<a 时，x a x a x x
><<>⎧⎨⎪⎩⎪0101，
则，
则
（4）y y x x
==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x
=是增函数，
上升，y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪12的图象逐渐下降。
当01
<<a 时，y a x
=是减函数。
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x
=2和y x
=10相交于()01，，当x >0时，y x
=10
的图象在y x
=2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有102
22>及10222--<。
②y x
=2与y x
=⎛⎝ ⎫⎭
⎪12的图象关于y 轴对称。
③通过y x
=2，y x
=10，y x
=⎛⎝ ⎫⎭
⎪12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x
=（a a >≠01
且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x
=10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x
=⎛⎝ ⎫⎭⎪13也由
关于y 轴的对称性，可得y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数：
定义：如果a N a a b
=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N
a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。）  由于N a b
=>0
故lo g a N 中N 必须大于0。  当N 为零的负数时对数不存在。  （1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：
求log .032524⎛⎝
⎫
⎭
⎪
分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=x ，再改写为指数式就
比较好办。
解：设log .032524⎛⎝
⎫
⎭
⎪=x
则即∴即032524
8258251
2
5241
212
032.log .x x
x =
⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪=-
⎛⎝ ⎫⎭
⎪=-
-
评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。
如求35x
=中的x ，化为对数式x =log 35即成。  （2）对数恒等式：
由a N b N b
a ==()l o g ()12  将（2）代入（1）得a
N
a N
l o g =  运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
计算：
()
313
2
-log
解：原式==⎛⎝ ⎫⎭
⎪-=3
1312
22
213
13
l o g l o g 。
（3）对数的性质：
①负数和零没有对数；  ②1的对数是零；  ③底数的对数等于1。  （4）对数的运算法则：
①()()
l o g l o g l o g a a a
M N M N M N R =+∈+
，  ②(
)
l o g l o g l o g a a a
M
N
M N M N R =-∈+
，  ③()(
)
l o g l o g a n
a
Nn N N R =∈+
④()
l o g l o g a n
a
N n
NNR =∈+
1  3、对数函数：
定义：指数函数y a a a x
=>≠()01且的反函数
y x a =l o g x
∈+∞(,)0叫做对数函数。
1、对三个对数函数y x y x
==l o g l o g 212
，，
y x =lg 的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（1）图象都位于 y 轴右侧； （1）定义域：R +
，值或：R ；
（2）图象都过点（1，0）；
（2）x =1时，y =0。即l o g a 1
0=； （3）y x
=l o g 2，y x =lg 当x >1时，图象在x 轴上方，当00
<<x 时，图象在x 轴下方，y x =log 1
2
与上述情况刚好相反； （3）当a >1时，若x >1，则y >0，若
01
<<x ，则y <0； 当01<<a 时，若x >0，则y <0，若01<<x 时，则y >0； （4）y x y x ==l o g l g 2，从左向右图象是上升，而y x =log 12
从左向右图象是下降。
（4）a >1时，y x a =l o g 是增函数； 01<<a 时，y x
a =l o g 是减函数。 对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y x
=l o g 2与y x =lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象上方；而01<<x 时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象的下方，故有：l o g.l g .21515>；l o g .l g .20101<。  （2）y x
=l o g 2的图象与y x =log 12
的图象关于x 轴对称。
（3）通过y x
=l o g 2，y x =lg ，y x =log 12
三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作y x =l o g 3的图象，它一定位于y x =l o g 2和y x =lg 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y x =lg 的上方，而位于y x
=l o g 2的下方，01<<x 时，刚好相反，则对称性，可知y x =log 13
的示意图。
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式：
l o g l o g l o g l o g (.)l o g b
a a n e g N N b
LN N
e N LN N
====其中…称为的自然对数称为常数对数27182810  由换底公式可得：
L N N e N
N n
===l g l g l g ..l g 04343
2303
由换底公式推出一些常用的结论：
（1）l o g l o g l o g l o g a b
a b
b a b a ==1
1或·  （2）log log a m
a n b
m
n
b =
（3）l o g l o g a
n
a n
b b =
（4）lo g a m
n a m
n
=
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：
名称 题型 解法
基本型 同底数型 不同底数型 需代换型
()a b
f x = a a f x x ()()=ϕ ()()a b
f x x =ϕ ()
F a x =0
取以a 为底的对数()f x b a =l o g  取以a 为底的对数()()f x x =ϕ 取同底的对数化为()()
fx a x b ··l g l g =ϕ
换元令t a x
=转化为t 的代数方程
名称 题型
解法
基本题 (
)l o g a f x b = 对数式转化为指数式()f x a b
=
同底数型 ()()l o g l o g a a
fx x =ϕ 转化为()()f x x =ϕ（必须验根） 需代换型 F a x (log )=0
换元令t x
a =l o g 转化为代数方程

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