指对数的运算
一、反思数学符号： “”“”出现的背景
1.数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。
2.方程的根是多少？;
①.这样的数存在却无法写出来？怎么办呢？你怎样向别人介绍一个人？ 描述出来。
②..那么这个写不出来的数是一个什么样的数呢？ 怎样描述呢？
①我们发明了新的公认符号 “”作为这样数的“标志”的形式.即是一个平方等于三的数.
②推广:则.
③后又常用另一种形式分数指数幂形式
3.方程 的根又是多少？①也存在却无法写出来？？同样也发明了新的公认符号 “”专门作为这样数的标志，的形式.
即是一个2为底结果等于3的数.
② 推广:则.
二、指对数运算法则及性质：
1.幂的有关概念:
(1)正整数指数幂: = (). (2)零指数幂: ).
(3)负整数指数幂: (4)正分数指数幂:
(5)负分数指数幂: ( 6 )0的正分数指数幂等于0,负分指数幂没意义.
2.根式:
(1)如果一个数的n次方等于a, 那么这个数叫做a的n次方根.如果,那么x叫做a的次方根,则x= (2)0的任何次方根都是0,记作. (3) 式子叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.
(4) . (5)当n为奇数时, = . (6)当n为偶数时对数函数运算法则公式, = = .
3.指数幂的运算法则:
(1) = . (2) = . 3) = .4) = .
二.对数
1.对数的定义:如果,那么数b叫做以a为底N的对数,记作 ,其中a叫做 , 叫做真数.
2.特殊对数:
(1) = ; (2) = . (其中
3.对数的换底公式及对数恒等式
(1) = (对数恒等式). (2); (3); (4) .
(5) = (6) = .(7) = .(8) = ; (9) =
(10)
三、经典体验：
1.化简根式:； ； ；
2.解方程：; ; ； ；
3.化简求值:
；
4.【徐州六县一区09-10高一期中】16. 求函数的定义域。
四、经典例题
例：1画出函数草图:.
练习：1. “等式log3x2=2成立”是“等式log3x=1成立”的 ▲ ．必要不充分条件
例：2. 若则 ▲ ．
练习：1. 已知函数求的值 ▲ ．.
例3：函数f(x)=lg()是 （奇、偶）函数。
点拨：
为奇函数。
练习：已知则 ．
练习：已知则的值等于 .
练习：已知定义域为R的函数在是增函数，满足且，求不等式的解集。
例：4解方程．
解：设，则，代入原方程，解得，或（舍去）．由，得．经检验知，为原方程的解．
练习：解方程．
练习：解方程．
练习：解方程：.
练习：设，求实数、的值。
解：原方程等价于，显然，我们考虑函数，显然，即是原方程的根．又和都是减函数，故也是减函数．
当时，；当时，，因此，原方程只有一个解．分析：注意到，，故倒数换元可求解．
解：原方程两边同除以，得．设，原方程化为，化简整理，得．，，即．．
解析：令，则，∴原方程变形为，解得，。由得，∴，
即，∴，∴。由得，∴，∵，∴此方程无实根。故原方程的解为。评注：将指数方程转化为基本型求解，是解决该类问题的关键。
解析：由题意可得，，，原方程可化为，即。
∴，∴。
∴由非负数的性质得，且，∴，。
评注：通过拆项配方，使问题巧妙获解。
例5：已知关于的方程有实数解，求的取值范围。
已知关于的方程的实数解在区间，求的取值范围。
反思提炼：1.常见的四种指数方程的一般解法
（1） 方程的解法：
（2） 方程的解法：
（3） 方程的解法：
（4） 方程的解法：
2．常见的三种对数方程的一般解法
（1）方程的解法：
（2）方程的解法：
（3）方程的解法：
3．方程与函数之间的转化。
4．通过数形结合解决方程有无根的问题。
课后作业：
1.对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是
[答案] 2n＋1－2
[解析] ∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)－xn.
f ′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.
在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.
∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)．
令x＝0得，y＝(n＋1)·2n，
∴an＝(n＋1)·2n，
∴数列的前n项和为＝2n＋1－2.
2．在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________
解析：设则，过点P作的垂线
，所以，t在上单调增，在单调减，。
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