§2.2　对数函数
2．2.1　对数与对数运算
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：
①零和负数没有对数，即N>0；
②1的对数为零，即loga1＝0；
③底的对数等于1，即logaa＝1.
2．对数的运算法则
(1)基本公式
①loga(MN)＝logaM＋logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)
②loga＝logaM－logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)
③logaMn＝n·logaM (a>0，a≠1，M>0，n∈R)
3．对数换底公式
在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN对数函数运算法则公式＝(b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0)．
由换底公式可推出下面两个常用公式：
(1)logbN＝或logbN·logNb＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；
(2)logbnNm＝logbN(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R)
.
  　                题型一　正确理解对数运算性质
对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的是(  )
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①与③  B．②与④  C．②    D．①、②、③、④
  　                题型二　对数运算性质的应用
求下列各式的值：
(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；
(3).
                题型三　对数换底公式的应用
计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．
已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．
对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N (a>0，且a≠1，N>0)．
1．(上海高考)方程9x－6·3x－7＝0的解是________．
2．(辽宁高考)设g(x)＝则g＝____.
1．对数式log(a－3)(7－a)＝b，实数a的取值范围是(  )         
A．(－∞，7)  B．(3,7)
C．(3,4)∪(4,7)  D．(3，＋∞)
2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(  )
A．a－2  B．3a－(1＋a)2
C．5a－2  D．－a2＋3a－1
3．log56·log67·log78·log89·log910的值为(  )
A．1  B．lg5  C.  D．1＋lg2
4．已知loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是(  )
A．(0,1)  B.
C.  D．(1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝ax－1＋logax (a>0，a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2，则a的值为(  )
A．4  B.  C．3  D.
6．若方程(lgx)2＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于(  )
A．lg7·lg5  B．lg35  C．35  D.
7．已知f(log2x)＝x，则f＝________.
8．log(－1)(＋1)＝________.
9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lgx＝－2＋0.778 1，则x＝________.
10．(1)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求log的值；
(2)已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log365.
11．设a，b，c均为不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值．
12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状．
2．2.1　对数与对数运算(一)
自学导引
1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质有：(1)1的对数为零；
(2)底的对数为1；
(3)零和负数没有对数．
3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.
4．若a>0，且a≠1，则ab＝N等价于logaN＝b.
5．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1)
.
    　                一、对数式有意义的条件
例1　求下列各式中x的取值范围：
(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.
变式迁移1　在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(  )
A．a>5或a<2    　B．2<a<5
C．2<a<3或3<a<5  D．3<a<4
                二、对数式与指数式的互化
例2　将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：
(1)54＝625；    (2)log8＝－3；
(3)－2＝16;  (4)log101 000＝3.
变式迁移2　将下列对数式化为指数式求x值：
(1)logx27＝；    (2)log2x＝－；
(3)log5(log2x)＝0;  (4)x＝log27；
(5)x＝log16.
                      三、对数恒等式的应用
例3　(1)alogab·logbc·logcN的值(a，b，c∈R＋，且不等于1，N>0)；
(2)4 (log29－log25)．
变式迁移3　计算：3log3＋()log3.
1．一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．利用ab＝N⇔b＝logaN (其中a>0，a≠1，N>0)可以进行指数与对数式的互化．
3．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1)．
一、选择题
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(  )
A．100＝1与lg1＝0
B．27－＝与log27＝－
C．log3＝9与9＝3
D．log55＝1与51＝5
2．指数式b6＝a (b>0，b≠1)所对应的对数式是(  )               
A．log6a＝a  B．log6b＝a
C．logab＝6  D．logba＝6
3．若logx(－2)＝－1，则x的值为(  )
A.－2  B.＋2
C.－2或＋2  D．2－
4．如果f(10x)＝x，则f(3)等于(  )
A．log310  B．lg3  C．103  D．310
5．2·log25＋·log25的值等于(  )
A．2＋  B．25
C．2＋  D．1＋
二、填空题
6．若5lgx＝25，则x的值为________．
7．设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为________．
8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________.
三、解答题
9．求下列各式中x的值
(1)若log3＝1，则求x值；
(2)若log2 003(x2－1)＝0，则求x值．

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。