初中数学公式定理大全
一、锐角三角函数：
①∠A 是Rt △ABC 的任一锐角，则∠A 的正弦：
，∠A
的余弦：
，
sin A =
∠A 的对边
斜边cos A =
∠A 的邻边斜边∠A 的正切：
；  并且sin 2A ＋cos 2A ＝1．  0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0．
tan A =∠A 的对边
∠A 的邻边
∠A 越大，∠A 的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．②余角公式：sin(90º－A )＝cos A ，cos(90º－A )＝sin A ．
③
斜坡的坡度：i ＝．设坡角为
α，则
i ＝tan α＝．
铅垂高度
水平宽度
=
ℎ
l ℎ
l ④特殊角的三角函数值：
a sina cosa tana cota 30°123233345°22221160°321233390°
1
不
二、二次函数：1.定义：一般地，如果，那么y 叫做x 的二次函数.y =ax 2
+bx +c(a,b,c 是常数，a ≠0）2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、a a >0a <0|a |形状相同。②平行于y 轴（或重合）的直线记作特别地，y 轴记作直线。x =ℎ，x =0几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
Y=ax 2X=0（y 轴）（0,0）Y=ax 2+k X=0（y 轴）
(0, k)Y=a(x-h)2X=h (h,0)Y=a(x-h)2+k X=h (h,k)Y=ax 2+bx+c
当a 时
>0开口向上当a 时<0开口向下
X=
‒b
2a
()
‒b 2a ,
4ac ‒b 2
4a 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：
，∴顶点是
，对称轴是直线y =ax 2
+bx +c =a (x +
b 2a )
2+
4ac ‒b 2
4a (‒b
2a
,  4ac ‒b 24a )x =‒
b 2a
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直y =a (x ‒ℎ)2
+k 线x =ℎ
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点、（及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：
(x 1 ，y )(x 2 ，y )x =
x 1 +x 2
2
4.抛物线中，的作用y =ax 2
+bx +c a,b,c  （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.a y =ax 2
a  （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对
b a y =ax 2
+bx +c x =‒b
2a
b =0称轴为y
轴；②（即、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③（即、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.
b
a
>0
a b
a
<0
a  （3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置.y =ax 2
+bx +c      当时，y=c ，∴抛物线与y 轴有且只有一个交点（0，c ）
x =0y =ax 2
+bx +c ①，抛物线经过原点; ②，与y 轴交于正半轴；③，与y 轴交于负半轴
c =0c >0c <0      以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立。如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则
b a
<0
5.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、y 的值，通常选择一般式.y =ax 2
+bx +c x  （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
y =a (x ‒ℎ)2
+k  （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.x x 1 x 2 y =a (x ‒x 1 )(x ‒x 2 )6.直线与抛物线的交点 （1）y 轴与抛物线得交点为(0, c).y =ax 2
+bx +c  （2）抛物线与轴的交点
x  二次函数
的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程y =ax 2+bx +c x x 1 x 2 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：ax 2+bx +c =0x      ①有两个交点 ()抛物线与轴相交；⇔Δ>0⇔x      ②有一个交点（顶点在轴上） ()抛物线与轴相切；x ⇔Δ=0⇔x      ③没有交点 ()抛物线与轴相离.⇔Δ<0⇔x  （3）平行于轴的直线与抛物线的交点x    同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是的两个实数根.ax 2
+bx +c =k  （4）一次函数()的图像与二次函数的图像G 的交点，
y =kx +n k ≠0l y =ax 2
+bx +c(a ≠0）由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与G 有两个交点；
{y =kx +n
y =ax 2
+bx +c ⇔l ②方程组只有一组解时与G 只有一个交点；③方程组无解时与G 没有交点.⇔l ⇔l  （5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为A()，B()，则AB=x y =ax 2
+bx +c x x 1 ，0x 2 ，0|x 1 ‒x 2 |
直角三角形中的射影定理：如图：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，CD ⊥AB 于D ，则有：（1）（2）（3） CD 2=AD ⋅BD AC 2=AD ⋅AB BC 2
=BD ⋅AB 三、圆的有关性质：
（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径．（2）两条平行弦所夹的弧相等．（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（6）同弧或等弧所对的圆周角相等．（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦．（9）圆内接四边形的对角互补．
四、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．
常见结论：（1）Rt △ABC 的三条边分别为：a 、b 、c （c 为斜边），则它的内切圆的半径；
r =
a +
b ‒c
2（2）△ABC 的周长为，面积为S ，其内切圆的半径为r ，则
l S =1
2lr
五、弦切角定理及其推论：
（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠PAC 为弦切角。（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。如果AC 是⊙O 的弦，PA 是⊙O 的切线，A
为切点，则∠PAC  =∠ABC
12
AC
=1
2∠AOC =
初中常用三角函数公式推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）
如果AC 是⊙O 的弦，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，则∠PAC  =∠ABC
六、相交弦定理、割线定理、切割线定理：相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①，即：割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图②，即：PA·PB = PC·PD
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC 2 = PA·PB
①                        ②
③
8、面积公式：
① S 正△＝×(边长)2．3
4②S 平行四边形＝底×高．③S
菱形＝底×高＝×(对角线的积)，S 梯形=（上底+下底）×高=中位线×高
121
2④S 圆＝πR 2．⑤l 圆周长＝2πR ．
⑥弧长L ＝
．nπR 180⑦S
扇形=
nπr 2
360
=1
2lr
⑧S 圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh ，  S 全面积＝S 侧＋S 底＝2πrh ＋2πr 2
⑨S
圆锥侧＝×底面周长×母线＝πrb ，
S 全面积＝S 侧＋S 底＝πrb ＋πr 2
1
2常用数学公式
乘法与因式分解
a 2-
b 2=(a+b)(a-b)；    a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) ；    a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)  三角不等式
  |a+b|≤|a|+|b|； |a-b|≤|a|+|b|； |a|≤b <=> -b ≤a ≤b ；|a-b|≥|a|-|b|； -|a|≤a ≤|a|  一元二次方程的解
x =‒b ±b 2‒4ac
  判别式
  b 2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根Δ=  b 2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
Δ=  b 2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 
Δ=根与系数的关系（韦达定理）
  X 1+X 2=
；  X 1X 2=
‒b
a
⋅ c
a
                                      三角函数公式
  两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ；        sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ；
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) =；
tan(A-B) =tan A +tan B
tan A tan B tan A ‒tan B
1+tan A tan B cot(A+B) =；
cot(A-B) =cot A cot B ‒1
cot B ‒cot A cot A cot B +1
cot B ‒cot A
  倍角公式
tan2A =；      Sin2A=2SinA•CosA ；
Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A
2tan A
1‒tan 2A 三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)3；    cos3A = 4(cosA)3-3cosA ；    tan3A = tan A ·tan(+ A)·tan(- A)
π3π
3半角公式
sin()=
；
cos()=
；
tan()=
；
cot()=
；
tan()=  =
A
21‒cos A 2A
21+cos A 2A
2 1‒cos A 1+cos A
A
2 1+cos A 1‒cos A
A 21‒cos A sin A sin A
1+cos A
和差化积
  2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)                2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)  2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)                -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
  sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 )          cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB                tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB  　ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB                  -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB
  某些数列前n 项和
  1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2      1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n 2
  2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)      12+22+32+42+52+62+72+82+…+n 2=n(n+1)(2n+1)/6
  13+23+33+43+53+63+…n 3=n 2(n+1)2/4
12+23+34+45+56+67+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
××××××正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （注：其中 R 表示三角形的外接圆半径）余弦定理：b 2=a 2+c 2-2accosB （注：角B 是边a 和边c 的夹角）圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r 2 （注：（a,b ）是圆心坐标 ）圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（注：D 2+E 2-4F>0 ）抛物线标准方程：y 2=2px ；y 2=-2px ；x 2=2py ； x 2=-2py 直棱柱侧面积：S=ch ；                              斜棱柱侧面积：S=c'h
正棱锥侧面积：S=ch'
；
正棱台侧面积：S=(c+c')h'
1
21
2圆台侧面积：S= (c+c')L=(R+r)L
；
球的表面积：S=4r 2
1
2ππ圆柱侧面积：S=Ch=2rh （注：其中C 表示底面周长）；
圆锥侧面积：S=CL =rL π1
2π弧长公式：L=a r （a 是圆心角的弧度数r >0）；
扇形面积公式：s=L
r
×1
2×锥体体积公式：V=SH （注：其中
S 表示底面积）
圆锥体体积公式：V=r 2h
1
313π
斜棱柱体积：V=S'L （注：其中S'是直截面面积， L 是侧棱长）柱体体积公式：V=sh （注：其中s 表示底面积）        圆柱体：V=r 2h
π

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