第五章 三角函数
5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
知识点一　角的概念
初中常用三角函数公式⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？   
知识梳理　(1)角的概念
角
描述
定义
角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
表示
其中O为顶点，OA为始边， OB为终边
记法
角α或∠α，或简记为α
(2)角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角
(3)相等角与相反角
①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.
③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
知识点二　象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？   
知识梳理　角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点三　终边相同的角
30°与390°、－330°的终边有什么关系？   
知识梳理　所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
解题方法探究
探究一　任意角的概念
[例1]　(1)下列说法正确的有________．(填序号)
①零角的始边和终边重合．
②始边和终边重合的角是零角．
③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.
④绝对值最小的角是零角．
(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？
[解析]　(1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．
(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋)×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－×360°＝－1 950°.
[答案]　(1)①③④　(2)见解析
求解任意角问题的步骤
(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．
(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．
探究二　象限角与终边相同的角
[例2]　[教材P170例1、例2拓展探究]
(1)与－2 010°终边相同的最小正角是________．
(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.
(3)写出终边在x轴上的角的集合．
[解析]　(1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，
所以与－2 010°终边相同的最小正角是150°.
(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.
②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.
(3)终边在x轴的非负半轴的角的集合
S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．
终边在x轴的非正半轴的角的集合
S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．
∴终边在x轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．
[答案]　(1)150°　(2)(3)见解析
1.判断α是第几象限角的三个步骤
第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．
第二步，判断β的终边所在的象限．
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
象限角
象限角α的集合表示
第一象限角
{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限角
{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限角
{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}
第四象限角
{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}
2．求解给定范围内终边相同的角的方法
先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.
3．已知角的终边所在直线或射线求角的集合方法
先写出0°～360°内的射线所在的角的集合，再将各个集合进行合并．
探究三　区域角的写法
[例3]　(1)如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围为________．
(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．
[解析]　(1)若角α的终边落在OA上，
则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.
若角α的终边落在OB上，
则α＝30°＋360°·k，k∈Z.
所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.

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